Трикутник Паскаля

Кожен з нас з раннього дитинства чудово знайомий з такою простою і, на перший погляд, зрозумілою фігурою, як трикутник. Однак не всі знають, що існує ще й абсолютно дивовижний трикутник, не схожий на все, що нам доводилося бачити раніше, – трикутник Паскаля, названий так на честь великого французького математика і філософа Блеза Паскаля, який описав його в 1653 році в своєму «Трактаті про арифметичний трикутник ». Незважаючи на те, що перші відомості про трикутник Паскаля відносяться до незапам’ятних часів (Омар Хайям, який займався не тільки філософією, а й математикою, описав його на початку XII століття з посиланням на запозичення з джерел, датованих більш раннім часом), саме Б. Паскаль був першим, хто зміг науково описати його властивості.

Трикутник Паскаля – іншими словами, нескінченна числова таблиця, виконана у формі трикутника, – простий, витончений і великий, як все геніальне: кожне число його дорівнює сумі двох чисел, які розташовані над ним. Неважко здогадатися, що цей трикутник може бути яким завгодно великим – його можна продовжувати безмежно.

Перший ряд чисел (якщо вважати своєрідні «діагоналі» від вершини) – це одиниці, другий ряд містить натуральні числа, що відповідають номеру рядка розташування числа. Всі числа третього ряду – 1, 3, 6, 10, 15, 21,28, 36, 45 і т.д. являють собою трикутні числа, які показують, яка саме кількість предметів (подібно кулям в більярді) можуть в сукупності утворити трикутник. Цей ряд чудовий ще й тим, що кожне його число є сумою натурального ряду чисел, наприклад: 45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 або 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 і т.д. Четвертий ряд чисел трикутника Паскаля (1, 4, 10, 20, 35, 56 і т.д.) містить тетраедричних (пірамідальні) числа, які беруть участь в уявному «будівництві» тетраедра: на три вже наявних кулі кладеться ще один шар і виходить – 4 і т.д. П’ятий ряд трикутника, освічений гіпертетраедріческімі числами 1, 5, 15, 35, 70 і т.д., допоможе отримати в уяві (оскільки можливий тільки в чотиривимірному просторі) гіпертетраедр: одна куля об’єднується з чотирма, а ті – з десятьма і т. д. Ще більш неймовірний пятімерний тетраедр «вибудовується» за допомогою чисел шостого ряду трикутника Паскаля: 1, 6, 21, 56, 126 і т.д.

Що стосується горизонтальних ліній, то все числа цих рядків є біноміальними коефіцієнтами, що мають безцінне значення для комбінаторики, теорії ймовірностей, родоначальником якої в «співавторстві» з Ферма став Б. Паскаль, і інших математичних областей.

Одним із загадкових властивостей трикутника Паскаля є швидкість знаходження суми чисел ряду від початку до потрібного нам числа. Для цього необхідно, знайшовши останній доданок, звернути увагу на число, яке записано знизу і зліва (якщо нумерувати ряди з правого боку) або праворуч (якщо нумерувати ряди з лівого боку) від останнього доданка. Наприклад, щоб дізнатися, що в сумі дадуть нам все числа четвертого ряду від 1 до 56, досить, знайшовши 56, поглянути, що написано зліва внизу: це число 126. Дивно вірно!

Крім того, не здогадуючись про своє відкриття (це було виявлено тільки в XIX столітті), Паскаль «зашифрував» в трикутнику відомі числа послідовності Фібоначчі: 1, 6, 10, 4; 1, 5, 6, 1 і т.д.

...
ПОДІЛИТИСЯ: