Теорія чисел

Розділ математики займається вивченням цілих чисел і їх властивостей називається теорія чисел або вища арифметика.

Серед цілих чисел особливе місце займають натуральні числа, які можна розділити на два класи: прості і складні. До першого класу відносяться числа, які мають своїми делителями два числа: одиницю й саме себе. До другого класу відносяться всі інші числа.

Прості числа, їх властивості та зв’язок з усіма натуральними числами вивчалися Евклідом (3 століття до нашої ери). Він вважав, що будь-яке число натурального ряду може бути єдиним чином представлено як твір простих чисел. В «Засадах» Евкліда вказав спосіб знаходження найбільшого спільного дільника (НСД) двох чисел, наслідком з якого є теорема про однозначне розкладанні натуральних чисел на прості множники. З поняттям найменшого спільного дільника двох чисел пов’язане поняття їх найменшого спільного кратного (НОК).

До теорії чисел також відноситься питання про цілочисельних рішеннях різних видів рівнянь. Диофантово рівняння виду aX + bY = c, де a, b, c – цілі числа, X і Y – невідомі числа, є найпростішим рівнянням в цілих числах. Якщо c ділиться на НСД (a, b), то рівняння має цілочисельні рішення. У цьому випадку за допомогою алгоритму Евкліда знаходиться вирішення рівняння aX + bY = 1, з якого потім виходять всі рішення диофантова рівняння. Якщо ж з не ділиться на НСД (a, b), то вихідне рівняння не має рішень в цілих числах. Іншим цілочисельним рівнянням є рівняння X2 + Y2 = Z2 (рівняння Піфагора). Вавилонським математикам було відомо, що воно має безліч рішень, а давньогрецький математик Діофант (близько 250 року нашої ери) описав спосіб знаходження всіх рішень даного рівняння.

Великий внесок у розвиток теорії чисел вніс П’єр Ферма (1601-1665), якому належать відкриття пов’язані з теорією подільності цілих чисел, і теорією діофантових рівнянь. Їм було сформульовано твердження про «неможливість» – Велика теорема Ферма, доведена Мала теорема Ферма, яка в подальшому була узагальнена Л. Ейлером. У лютому 1657 року Ферма запропонував знайти загальне правило рішення рівняння Пелля ax2 + 1 = y2 в цілих числах. Рішення цього рівняння для a = 2 було описано Евклидом в «Засадах», а повне рішення знайдено Ейлером в 1759 році.

У 18 столітті Л. Ейлер (1707-1783) першим з математиків став створювати загальні методи і застосовувати інші розділи математики до вирішення завдань теорії чисел. Застосування методів математичного аналізу поклали початок аналітичної теорії чисел, в якій важливе місце займають методи тригонометричних сум, що дозволяють оцінювати число рішень рівнянь або систем рівнянь в цілих числах.

В аналітичній теорії чисел так само застосовується комплексний аналіз для доведення теореми про розподіл простих чисел. Однак залишається відкритим питання, чи існує нескінченно багато пар «простих близнюків», т. Е. Простих чисел різниця, між якими дорівнює двом, наприклад, 17 і 19 ілі101 і 103.

Аналітичні методи широко застосовуються і в адитивної теорії чисел, в якій вивчається розкладання натуральних чисел на складові певного виду: уявлення числа у вигляді суми простих чисел, суми двох квадратів (про ці питання згадувалося раніше) і т.д., представлення у вигляді чотирьох квадратів , дев’яти кубів і т.д. Так само до цього розділу теорії чисел відноситься проблема Варингу уявлення числа N у вигляді суми k доданків, кожне з яких є n ступінь натурального числа, тобто N = a1n + … + akn, де k залежить тільки від n.

Алгебраїчна теорія чисел розширює поняття числа. Тут розглядаються алгебраїчні цілі числа, корені многочленів з раціональними коефіцієнтами і старшим членом рівним одиниці.
Елементарна теорія чисел вивчає цілі числа без використання методів інших розділів математики. Тут розглядаються такі питання як подільність цілих чисел, числа Фібоначчі, побудова магічних квадратів, алгоритм знаходження найменшого спільного дільника і найбільшого загального кратного, мала теорема Ферма.
Багато питань теорії чисел легко сформулювати, але важко довести, а ряд питань залишаються відкритими, наприклад, ще не знайдено формули по якій виводяться всі прості числа. Велика теорема Ферма, сформульована в 1637 році, залишалася без докази більш 3 століть і була доведена Уалсом в 1995 році.

...
ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Як винайшли гроші