Що таке логіка

Математична логіка – один з основних розділів сучасної логіки і математики. Історія математичної логіки починається в кінці XIX століття. На початку ХХ математична логіка виступала як спосіб запису всіх вихідних припущень на мові знаків, аналогічних математичним, тобто була покликана замінити міркування обчисленнями.

Треба сказати, що коріння математичної логіки сягають глибокої давнини. Перші ідеї про створення математичної логіки були висунуті Аристотелем. Потім Р. Луллия і Дж. Буля (1815-1864) створили апарат математичної логіки. Фреге значно розширив і розвинув логіко-математичні мови. Спробу викласти розділи математики на мові логіки здійснив Дж. Пеано (1858-1932).

Всі ці дослідження були підпорядковані одній меті – створення спеціального рахункового пристрою і відповідає технічним обчисленням мову передачі інформації. Треба сказати, що не менш важливою проблемою математичної логіки є вибір вихідних понять і їх обгрунтування.

Таким чином, можна сформулювати наступне визначення математичної логіки (теоретична логіка або символічна логіка) – це розділ математики, що вивчає докази і питання підстав математики.

Різні дослідники по-різному визначають цей розділ. Відповідно до визначення П. С. Порецкого, «математична логіка є логіка по предмету, математика за методом». Як стверджувала Н. І. Кондакова, «математична логіка – друга, після традиційної логіки, ступінь у розвитку формальної логіки, яка застосовує математичні методи і спеціальний апарат символів і досліджує мислення за допомогою обчислень (формалізованих мов)».

А. А. Марков визначає сучасну логіку як «точну науку, яка застосовує математичні методи». Це різноманіття визначень дає можливість глибше проникнути в цей складний розділ математики.

Використання в логіці математичних методів стає можливим лише в тому випадку, коли судження формулюються на точному мовою. Мови подібного роду мають дві сторони: синтаксис і семантику.

Правила побудови об’єктів мови (як правило формул) називається синтаксисом. Семантика – це сукупність угод, що визначають точне розуміння формул.

Величезну роль в сучасній математичній логіці грають поняття дедуктивної теорії і обчислення. Обчислення – це сукупність правил виводу, що дозволяють вважати деякі формули виведеними. Всі правила виведення поділяються на два класи. Перші з них кваліфікую формули як виводяться. Подібні правила виведення називають аксіомами. Інші дозволяють вважати виведеними формули А, які синтаксично пов’язані з певним способом кінцевого набору A1, … An виведених формул. Одним з найбільш поширених правил другого класу є правило modus ponens: якщо виведені формули A і (A → B), то виводиться і формула B. Ставлення числень до семантиці виражається за допомогою понять семантичної придатності і семантичної повноти обчислення. Обчислення І називається семантично придатним для мови Я, тільки в тому випадку, якщо будь-яка виведена в І формула мови Я є вірною. Подібним чином, обчислення І називається семантично повним в мові Я, якщо будь-яка вірна формула мови Я виведена в І.

Більшість з розглянутих в математичній логіці мов є семантично повними і семантично придатними численнями. Однак існує чимало мов, для яких побудова семантично повного і семантично придатного обчислення практично неможливо.

Треба сказати, що на практиці величезна кількість елементарних логічних операцій є обов’язковою частиною набору інструкцій всіх сучасних мікропроцесорів і, отже, входить в мови програмування – все це є найважливішим додатком методів математичної логіки.

...
ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Арес