Проблема Гольдбаха

Як часто трапляється в звичайному житті – чим простіше, на перший погляд, проблема, тим складніше рішення вона має (а іноді навіть і не має). Парадокс, але в математиці часто відбувається те ж саме – просте, начебто, і зрозуміле твердження, яке, як здається, і не потребує доказу – і так все очевидно – ставить в безвихідь навіть найдосвідченіших вчених. Як приклад можна привести знамениту Проблему (Гіпотезу) Гольдбаха, яка ось уже понад двісті років є невирішеною математичної проблемою.

Отже, німецький математик Християн Гольдбах в середині XYIII століття прорік коротку і просту думку про те, що будь-яке парне число, яке більше 2, може бути представлено у вигляді суми двох простих (ділиться тільки на себе і одиницю) чисел. (Наприклад, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 18 = 7 + 11 і т.д.) Чи не залишивши без уваги і непарні числа, Гольдбах також припустив, що будь-який непарне число, яке більше або дорівнює 9 (в деяких схожих формулюваннях фігурують цифри 5 і 7), може бути представлено у вигляді суми трьох простих чисел. (Наприклад, 13 = 7 + 3 + 3 і т.д.). Перше твердження вважається сильною проблемою Гольдбаха (іноді її називають проблемою Гольдбаха в формулюванні Ейлера, оскільки ця думка була висловлена ​​в листі великому математику), а друга – слабкою проблемою Гольдбаха.

У 30-і роки XX століття математики Виноградов і Естерманн, займаючись сильної проблемою Гольдбаха, прийшли до рішення, що його твердження вірне: майже всі парні числа можуть бути сумою двох простих чисел. Особливу увагу слід звернути на слово «майже». Воно означає, що вчені допускають існування парних чисел, які неможливо уявити у вигляді суми двох простих, проте їх кількість гранично мало (прагне до нуля). У 70-ті роки математики Х. Монтгомері і Р.Ч.Воган ще раз підтвердили припущення Гольдбаха, а китайський вчений Чень Цзінжунь, погодившись з колегами, додав також, що крім суми двох простих чисел парне число може бути представлено як сума простого і напів (твори двох простих чисел) чисел (наприклад, 100 = 23 + 7 × 11). В даний момент вважається, що гіпотеза Гольдбаха вірна для всіх парних чисел, які не є більше 12 × 10 17.

Що стосується слабкої проблеми Гольдбаха, то вона, не дивлячись на численні спроби докази, до сих пір не отримала підтвердження. Математики Харді і Литлвуд в 20-х роках XX століття робили спроби обґрунтувати вірність цієї гіпотези для великих непарних чисел, Виноградов також займався пошуком досить великого непарного числа, проте це число не було названо (за деякими даними, воно складається з шести мільйонів цифр). В кінці XX століття була доведена вірність слабкою проблеми Гольдбаха для чисел, які є вищими за 1020.

Посилання на основну публікацію