Парадокси ймовірності

Слово «парадокс» відомо кожному. Однак не кожному відомо, що значення цього слова в логіці і в повсякденному житті дещо різняться.

У логіці під парадоксом розуміється логічно вірне твердження, що доводить як свою істинність, так і свою хибність. Найпростіший приклад такого парадоксу – т.зв. парадокс брехуна. Звучить він до примітивності просто: «Я брешу» (мається на увазі, брешу в даний момент, вимовляючи ці слова). Якщо прийняти це твердження за істину, значить, я дійсно брешу, а значить, це твердження є брехнею. Якщо прийняти це твердження за брехню, значить, я не брешу, а значить, це твердження є істиною.

У повсякденному житті поняття парадоксу набагато прозаїчніше і тривіально. Під цим слово зазвичай розуміють якесь судження різко розходиться із загальноприйнятою думкою, або нашої власною інтуїцією. Подібних парадоксів можна навести безліч. Особливо багато їх якраз в тих областях, розуміння яких саме пов’язано з інтуїцією.

Однією з таких областей є теорія ймовірностей. Саме поняття ймовірності зазвичай залишають без чіткого математичного визначення. Чисто інтуїтивно під випадковою подією ми зазвичай розуміємо якась подія, що, в силу тих чи інших причин, не можемо заздалегідь передбачити, а під ймовірністю – як би міру ожидаемости цієї події. Імовірність 1/2, наприклад, означає, що ми з однаковим успіхом можемо очікувати, що дана подія відбудеться, як і те, що воно не відбудеться. Наприклад, якщо ми кидаємо монетку, це значить ми з однаковим успіхом можемо розраховувати на те, що випаде орел або що випаде решка. Якщо ймовірність близька до одиниці, це означає, що ми в якійсь мірі можемо покластися на те, що ця подія відбудеться. Навпаки, якщо ймовірність близька до нуля, ми можемо бути майже впевнені, що ця подія не відбудеться. Знати яка подія більш очікувано, яке – менше дуже важливо, в тих випадках, коли ми чимось ризикуємо, особливо, якщо ми робимо це постійно. Справа в тому, ймовірність володіє однією чудовою властивістю: для одного конкретного події вона практично невизначена в рамках теорії ймовірності. Ми можемо її тільки оцінити, виходячи з якихось абстрактних міркувань. Наприклад, якщо ми кидаємо монету, ми не знаємо, що вона багато разів перевертається в повітрі, причому, порахувати кількість переворотів не представляється можливим і немає ніяких причин вважати (якщо, звичайно, сторони монети майже однакові, центр ваги нікуди не зміщений і т. д.), що монета впаде швидше орлом, а не решкою, а не навпаки. Однак, коли мова йде про велику кількість подій, то тут, як не дивно, виходить так, що частота народження певної події стає близькою до його ймовірності. Тому, якщо ризикувати один раз, то удача чи невдача зазвичай залежить тільки від везіння, але якщо займатися цим постійно (наприклад, постійно грати на біржі або в карткові ігри (крім випадків мухлежа)), тоді середній виграш буде вже залежати від знання теорії ймовірності та вміння застосувати ці знання на практиці. Якщо кинути монету один раз, то не можна сказати, що випав, наприклад, орел, бо ймовірність його випадання дорівнює 1/2. Він точно так же міг би випасти, якби ймовірність його випадання дорівнювала 1/3 або навіть 1/10 або 4/5. Але якщо кидати одну і ту ж монету довгий час то можна помітити, що кількість випадінь решек і орлів дійсно приблизно однаково. Це властивість називається законом великих чисел. А тепер питання, якою буде ймовірність випадання решки, якщо до цього випало 10 орлів? Більшість скаже, що ймовірність збільшиться і, швидше за все, випаде решка, однак насправді це не так. Імовірність залишиться колишньою. Адже ми кидаємо монету точно так само непередбачено, не знаючи, скільки разів вона перевернеться. Чому ми повинні чекати, що вона тільки заради того, щоб задовольнити нашу інтуїцію, впаде саме решкою? У таких випадках людина інтуїтивно намагається узгодити результат з законом великих чисел, і оскільки ці дві речі не узгоджуються, він безпідставно намагається підправити ймовірність події, яка, насправді, ніяк не залежить від його бажання і попередніх результатів. Це найпростіший приклад того, як інтуїція нас підводить, коли мова йде про ймовірність.

Ось ще один більш складний приклад, названий парадоксом Монті Холла. Уявіть, що ви стали учасником гри, в якій вам потрібно вибрати одну з трьох дверей. За однією з дверей знаходиться автомобіль, за двома іншими дверима – козли. Ви вибираєте одну з дверей, після чого ведучий, відкриває одну з решти дверей. Ведучий завжди відкриває двері, за якими знаходиться козел. Після цього він запитує вас, чи не бажаєте ви змінити свій вибір і вибрати іншу двері. Питання: чи зміняться ваші шанси виграти автомобіль, якщо ви приймете пропозицію ведучого і зміните свій вибір?

...
ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Хто такі ніндзя