Комплексні числа

Комплексні або уявні числа вперше з’явилися в відомому творі Кардано «Велике мистецтво, або про алгебраїчні правила» 1545 року. На думку автора, ці цифри не були придатні до вживання. Однак це твердження було пізніше спростоване. Зокрема, Бомбелли в 1572 році при вирішенні кубічного рівняння обгрунтував користь уявних чисел. Він створив основні правила дій з комплексними числами.

І все ж довгий час в математичному світі не було єдиного уявлення про сутність комплексних чисел.

Геометричне уявлення комплексного числа

Вперше символ уявних чисел був запропонований видатним математиком Ейлером. Запропонована символіка виглядала наступним чином: i = sqr -1, де i – imaginarius, що означає фіктивний. У заслугу Ейлера також входить ідея про алгебраїчної замкнутості поля комплексних чисел.

Отже, необхідність в числах нового типу з’явилася при вирішенні квадратних рівнянь для випадку D

Графічна запис комплексних чисел має вигляд: a + bi, де a і b – дійсні числа, а i – уявна одиниця, т.e. i2 = -1. Число a називається абсцисою, a b – ординатою комплексного числа a + bi. Два комплексних числа a + bi і a – bi називаються зв’язаними комплексними числами.

Існує ряд правил, пов’язаних з комплексними числами:

По-перше, дійсне число а може бути записано у формі комплексного числа: a + 0 i або a – 0 i. Наприклад, 5 + 0 i і 5 – 0 i означають одне і те ж число 5.
По-друге, комплексне число 0 + bi називається чисто уявним числом. Запис bi означає те ж саме, що і 0 bi.
По-третє, два комплексних числа a + bi і c + di вважаються рівними, якщо a = c і b = d. В іншому випадку комплексні числа не рівні.
До основних дій над комплексними числами відносяться:

Додавання. Комплексне число (a + c) + (b + d) i називається сумою комплексних чисел a + bi і c + di. Отже, при додаванні комплексних чисел окремо складаються їх абсциси і ординати.
Це правило справедливо до дій зі звичайними многочленами.

Віднімання. Комплексне число (a – c) + (b – d) i називається різницею двох комплексних чисел a + bi (зменшуване) і c + di (від’ємник). Звідси випливає, що при відніманні двох комплексних чисел окремо віднімаються їх абсциси і ординати.
Множення. Твором комплексних чисел a + bi і c + di є комплексне число (ac – bd) + (ad + bc) i. Це визначення справедливо при дотриманні двох вимог:
числа a + bi і c + di повинні перемножуємо, як алгебраїчні двочлена,
число i має основним властивістю: i2 = -1.
Наприклад, (a + bi) (a – bi) = a2 + b2. Звідси випливає, що добуток двох сполучених комплексних чисел дорівнює дійсному позитивному числу.

Модуль, аргумент, речова і уявна частини
Розподіл. Розділити комплексне число a + bi (ділене) на інше c + di (дільник) – значить відшукати третє число e + f i (приватне), множення якого на дільник c + di дає в результаті ділене a + bi. Розподіл можливо тільки в разі, якщо дільник не дорівнює нулю.
Наприклад, (8 + i): (2 – 3i) = 1 + 2i.

У геометричному поданні комплексні числа на відміну від дійсних, які зображуються на числової прямої точками, відзначаються точками на координатній площині. Візьмемо для цього прямокутні (декартові) координати з однаковими масштабами на осях. В цьому випадку комплексне число a + bi буде представлено точкою Р з абсцисою а й ординатою b. Така система координат називається комплексної площиною.

Модулем комплексного числа є довжина вектора OP, який зображує комплексне число комплексної площині. Модуль комплексного числа a + bi записується у вигляді | a + bi | або буквою r і дорівнює:
r = | a + ib | = Sqr a2 + b2.
У сполучених комплексних чисел є однаковий модуль.

Аргументом комплексного числа є кут φ між віссю OX і вектором OP, що зображує комплексне число. Звідси отримуємо, tan φ = b / a.
Тригонометрична форма комплексного числа виражається через модуль r і аргумент φ абсциси a і ординати b комплексного числа a + bi.

a = r cosφ, b = r sinφ.
a + bi = r (cosφ + i sinφ).

...
ПОДІЛИТИСЯ: