Геометричні фрактали

Історія фракталів в XIX столітті почалося саме з вивчення геометричних фракталів. Фрактали яскраво відображають властивість самоподібності. Найбільш наочними прикладами геометричних фракталів є:

Крива Коха – несамопересічна безперервна крива нескінченної довжини. Ця крива не має дотичній ні в одній точці.
Безліч Кантора – нещільне незліченну вчинене безліч.
Губка Менгера – це аналог безлічі Кантора з тією лише відмінністю, що побудований цей фрактал в тривимірному просторі.
Трикутник або килим Серпінського також є аналогом безлічі Кантора на плоскоті.
Фрактали Вейерштрасса і Ван дер Вардена являють собою не диференціюється безперервну функцію.
Траєкторія броунівський частинки теж дифференцируема.
Крива Пеано – це безперервна крива, яка проходить через всі точки квадрата.
Дерево Піфагора.

Розглянемо більш докладно побудова одного з таких фрактальних об’єктів – триадную криву Коха.

Для побудова кривої існує проста рекурсивна процедура освіти фрахт кривих на площині. В першу чергу необхідно задати довільну ламану з кінцевим числом ланок, так званим генератором. Далі кожна ланка замінюється утворюючим елементом, точніше ламаної, подібної генератору. В результаті такої заміни утворюється нове покоління кривої Коха. У першому поколінні крива складається з чотирьох прямолінійних ланок, довжина кожного з яких дорівнює 1/3. Щоб отримати третє покоління кривої виконують той же алгоритм – кожна ланка замінюється на зменшений утворює елемент. Таким чином, для отримання кожного наступного покоління, все ланки попереднього замінюються зменшеним утворюючим елементів. Тоді, крива n-го покоління при будь-якому кінцевому n називається предфракталом. У разі, коли n прямує до нескінченності крива Коха стає фрактальним об’єктом.

Звернімося до іншого способу побудови фрактального об’єкта. Для його створення необхідно змінити правила побудова: нехай створює елементом будуть два рівних відрізка, з’єднаних під прямим кутом. У нульовому поколінні замінюємо одиничний інтервал на який утворює елемент таким чином, щоб кут був зверху. Тобто, при такій заміні відбувається зміщення середини ланки. Наступні покоління будуються за правилом: перше зліва ланка замінюється на який утворює елемент ТКІМ чином, щоб середина ланки зміщалася вліво від напрямку руху. Далі заміна ланок чергується. Гранична фрактальна крива, побудована за таким правилом, називається драконом Хартера-Хейтуея.

У комп’ютерній графіці геометричні фраткали використовуються для моделювання зображень дерев, кущів, гірських масивів, берегової лінії. Двомірні геометричні фрактали широко використовуються для створення об’ємних текстур.

...
ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Що таке жорсткість води