Евклідова (елементарна) геометрія

Евклідова геометрія – це геометрична теорія, заснована на системі аксіом, яка була вперше викладена в третьому столітті до нашої ери великим давньогрецьким математиком Евклідом в грандіозному науковій праці «Начала».

Система аксіом Евкліда базується на основних геометричні поняттях таких, як точка, пряма, площина, рух, а також на такі відносини: «точка лежить на прямій на площині», «точка лежить між двома іншими».

В «Засадах» Евкліда представив наступну аксіоматику:

  • Від будь-якої точки до будь-якої точки можна провести пряму.
  • Обмежену пряму можна безперервно продовжувати по прямій.
  • З будь-якого центру всяким розчином може бути описаний коло.
  • Всі прямі кути рівні між собою.

Якщо пряма, яка перетинає дві прямі, утворює внутрішні односторонні кути, менші двох прямих, то, продовжені необмежено, ці дві прямі зустрінуться з того боку, де кути менше двох прямих.
Ретельне вивчення аксіоматики Евкліда в другій половині XIX століття показало її неповноту. У 1899 році Д. Гілберт запропонував першу сувору аксіоматику геометрії Евкліда. Згодом ще не раз вчені робили спроби вдосконалити аксіоматику геометрії Евкліда. Крім аксіоматики Гілберта, відомими вважаються: аксіоматики Тарского і аксіоматики Біргофа, яка складається всього лише з 4 аксіом.

У сучасному трактуванні система аксіом Евкліда може бути розділена на п’ять груп:

  • Ватиканський манускрипт, т.2, 207v – 208r. Euclid XI prop. 31, 32 і 33.
  • Аксіоми поєднання. По-перше, через кожні дві точки можна провести пряму і до того ж тільки одну. По-друге, на кожній прямій лежать принаймні дві точки. При цьому існують хоча б три точки, що не лежать на одній прямій. По-третє, через кожні три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину і до того ж тільки одну. По-четверте, на кожній площині є принаймні три точки, а також існують хоча б чотири точки, що не лежать в одній площині. По-п’яте, якщо дві точки даної прямої лежать на даній площині, значить і сама пряма лежить на цій площині. По-шосте, якщо дві площини мають спільну точку, то, отже вони мають і спільну пряму.
  • Аксіоми порядку. По-перше, якщо точка В лежить між А і С, то все три лежать на одній прямій. По-друге, для кожних точок А, В існує така точка С, що В лежить між А і С. По-третє, з трьох точок прямої тільки одна лежить між двома іншими. По-четверте, якщо пряма перетинає одну сторону трикутника, значить вона перетинає при цьому і іншу його сторону або проходить через вершину (відрізок AB визначається як безліч точок, що лежать між А і В; аналогічно визначаються сторони трикутника).
  • Аксіоми руху. По-перше, рух ставить у відповідність точкам точки, прямим прямі, площинах площині, зберігаючи приналежність точок прямим і площинах. По-друге, два послідовних руху знову дають рух, і для будь-якого руху є зворотне. По-третє, якщо дано точки А, A ‘і півплощини A, A’, обмежені продовженими променями а, а ‘, які виходять з точок А, A’, то існує єдине рух, що переводить А, а, A в A ‘, a ‘, A’ (напівпряма і напівплощина легко визначаються на основі понять поєднання і порядку).
  • Аксіоми безперервності. По-перше, як свідчить аксіома Архімеда, всякий відрізок можна перекрити будь-яким відрізком, відкладаючи на першому його достатню кількість разів (відкладання відрізка здійснюється рухом). По-друге, за аксіомою Кантора: якщо дана послідовність відрізків, вкладених один в іншій, то всі вони мають хоча б одну спільну точку.
  • Аксіома паралельності Евкліда: через точку А поза прямою а в площині, що проходить через А і а, можна провести лише одну пряму, не що перетинає а.

Евклідова геометрія стала результатом систематизації і узагальнення наочних уявлень людини про навколишній світ. Поглиблене проникнення в суть геометрії привело до більш абстрактного розуміння науки. Пізніші досягнення і відкриття показали, що наші уявлення про простір є апріорними, тобто чисто умоглядні. Таким чином було поставлено під сумнів існування єдиної геометрії. бурхливий розвиток фізики і астрономії, довело, що евклідова геометрія описує структуру навколишнього простору, але зовсім не здатна описати властивості простору, пов’язані з переміщеннями тіл зі швидкостями, близькими до швидкості світла. Російський математик Н. І. Лобачевський розробив нову неевклідову геометрію, яка наблизилася до реального опису фізичного простору.

...
ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Прапор Чехії