Евклід

Арифметика, музика, астрономія і геометрія вже з часів піфагорійців вважалися математичними науками і були зразками систематичного і логічного мислення. Таким чином, заняття цими науками було першим етапом на шляху до вивчення філософії і пізнання навколишнього світу. Однією з найважливіших галузей знань серед перерахованих наук була геометрія.

Першим підручником, в якому зібрані і систематизовані досягнення в області геометрії і алгебри всіх попередніх епох, був грандіозний працю давньогрецького математика Евкліда «Начала». Значення цього наукового твору неможливо недооцінити. Евклід зумів зібрати в «Засадах» основні проблемні питання по планіметрії і стереометрії, теорії чисел і алгебри, загальної теорії відносин і методів визначення площ і обсягів і багато-багато іншого. «Начала» по праву називають фундаментальною працею давньогрецького мислителя. Перша спроба логічного побудови геометрії на основі аксіоматики було дуже і дуже вдалим, хоча в деяких положеннях «Начала» Евкліда містяться не повні дані, мабуть, автор тут звертається до власної інтуїції.

Головний науковий твір Евкліда протягом більше двох тисяч років були базовим підручником геометрії. Протягом всієї історії існування «Начала» Евкліда удосконалилися більш пізніми додаваннями. Достовірно відомо, що з 1482г. «Начала» Евкліда витримали понад 500 перевидань усіма мовами світу.

До речі сказати, що над входом в знамениту Академію Платона була викарбувано напис, яка свідчила: «Не ввійде сюди не знає геометрії».
Звівши до купи і обробивши всі перш створене до нього, Евклід створив підручник, що включає в себе тринадцять книг.

У перших чотирьох книгах йдеться про геометрію на площині та основні властивості прямолінійних фігур і околиць.

У книзі I дано визначення основних понять. Однак ці визначення досить поверхневих, наприклад: «Точка є те, що не має частин». «Лінія ж – довжина без ширини». «Пряма лінія є та, яка однаково розташована стосовно точок на ній». «Поверхность є те, що має тільки довжину і ширину» і т.д. Після визначень слідують п’ять головних постулатів геометрії:

Припустимо, що від усякої точки до будь-якої точки можна провести пряму лінію;
Припустимо, що обмежену пряму можна безперервно продовжити по прямій;
Припустимо, що з будь-якого центру і всяким розчином може бути описаний коло;
Припустимо, що всі прямі кути рівні між собою;
Припустимо, якщо пряма, падаюча на дві прямі, утворює внутрішні і по одну сторону кути, менше двох прямих, то продовжені необмежено ці дві прямі зустрінуться з того боку, де кути менше двох прямих. «У перших трьох постулатах допускається існування прямої та кола. Останній, п’ятий постулат, є найвідомішим. Так званий постулат про паралельних прямих на протязі багатьох століть викликав протилежні думки в суспільстві математиків, багато хто не вважали його реальним і відмовляли йому в праві на існування.
До речі сказати, проблема паралельних прямих була дозволена в XIX столітті російським математиком Лобачевским, що зуміли побудувати нові неевклидова геометрії і довести, тим самим, достовірність п’ятого постулату.
Далі в першій книзі, після формулювань постулатів слідують універсальні аксіоми застосовні до всіх наук. Потім Евклід доводить елементарні властивості трикутників, наприклад, умови рівності. Також Евклід описує основні геометричні побудови, наприклад, побудова бісектриси кута, середини відрізка і перпендикуляра до прямої і ін.

Ватиканський манускрипт, т.1, 38v – 39r. Euclid I prop. 47 (теорема Піфагора)
У другій книзі «Начала» викладено положення геометричної алгебри, створеної піфогарейцамі. Третя книга присвячена геометрії окружності. У книзі 4 досліджуються правильніше багатокутники, вписані в коло або описані навколо неї. У 5 книзі розглянуто проблему співмірності величин. Тут Евклід розміщує поняття «величини» довжини, площі, обсягу, ваги та ін.

У книзі 6 Евклід застосовує теорію пропорцій, розроблену в попередній книзі, щодо прямолінійних подібних фігур.

Наступні три книги 7,8,9 повністю присвячені теорії чисел. У книзі сьомий Евклід визначає рівність відносин цілих чисел, тобто він вибудовує теорію раціональних чисел. Його доказ від протилежного є зразком логічно вибудуваного затвердження, яке до цих пір використовується в підручниках з алгебри і геометрії. Наприклад, «перших чисел існує більше всякого запропонованого кількості перших чисел».

У 10 книзі міститься класифікація геометричних прямих і трикутників. Тут же Евклід доводить справедливість геометричних перетворень.

Одинадцята книга «Почав» присвячена стреометріі, а дванадцята книга містить порівняльну характеристику площ криволінійних фігур і багатокутників. У книзі 13 Евклід займається побудовою правильних багатогранників.

 

...
ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Верифікація – що це таке?