Досконалі числа

Досконалу красу чисел вперше помітили піфагорійці. Саме вони були першовідкривачами скоєних натуральних чисел. З тих далеких часів досконалі числа становлять особливий інтерес для математичних досліджень.

Досконале число – це число, яке дорівнює сумі всіх своїх дільників, в тому числі одиниця, але виключаючи саме себе. Перше і найменше з скоєних чисел – 6. Досконале число шість дорівнює сумі трьох своїх подільників 1, 2 і 3. Наступне досконале число 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Далі в міру того як натуральні числа зростають, досконалі числа зустрічаються все рідше. Третє досконале число – 496, четверте – 8128, п’яте – 2 096 128, шосте – 33 550 336, сьоме – 8 589 869 056 (згідно послідовності A000396 в OEIS).

Цікаво дізнатися, що Мартін Гарднер у своїй книзі «Математичні новели» вперше побачив досконало чисел 6 і 28 особливий сенс. Згадайте, адже Бог створив світ за 6 днів. А Місяць оновлюється кожні 28 діб.

Перше велике досягнення в області теорії досконалих чисел була теорема Евкліда про те, що число 2n-1 (2n-1) – парне і досконале, в тому випадку, якщо число 2n-1 просте.

Через багато століть, Леонардо Ейлер довів справедливість теорії Евкліда. Таким чином, у формулі Евкліда містяться всі парні досконалі числа. За весь час вивчення скоєних чисел не було знайдено жодного непарного досконалого числа. У зв’язку з цим вчені говорять лише про існування парних скоєних чисел. Однак це не виключає можливості їх існування. Невідома також достовірність припущення про нескінченність безлічі всіх скоєних чисел.

До речі сказати, при більш детальному розгляді формули Евкліда можна побачити зв’язок скоєних чисел з членами геометричної прогресії 1, 2, 4, 8, 16, …

За допомогою формули Евкліда можна довести величезна кількість властивостей скоєних чисел. Наприклад: всі скоєні числа, крім 6, можна представити у вигляді часткових сум ряду кубів послідовних непарних чисел 13 + 33 + 53 + … Не менш цікавою властивістю скоєних чисел є те, що сума величин, зворотних всім делителям досконалого числа, включаючи його самого, завжди дорівнює 2:

1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.

Цікаво уявлення скоєних чисел в двійковій формі і багато іншого. Слід зазначити, що всі парні досконалі числа (крім 6) закінчуються в десяткового запису на 16, 28, 36, 56, 76 або 96.

Крім того, всі парні досконалі числа є трикутними числами, що означає, якщо взяти досконале число куль, завжди можна скласти з них рівносторонній трикутник. Також досконалі числа є шестикутними і можуть бути представлені у вигляді n (2n-1).

...
ПОДІЛИТИСЯ: