Диференціальна геометрія

Диференціальна геометрія – це один з розділів геометрії, в якому вивчаються властивості кривих, поверхонь і інших геометричних різноманіть за допомогою методів математичного аналізу, зокрема – диференціального обчислення.

Виникла і розвивалася диференціальна геометрія разом з математичним аналізом, який сам насправді базується на геометрії. основні геометричні поняття лягли в основу відповідний термінів аналізу. Наприклад, поняття площі та об’єму передувало поняттю інтеграл.

У точці кривої побудовані вектори дотичній (T), головною нормалі (N) і бинормали (B). Показана також стикається площину, яка містить дотичну і головну нормаль
Зародилася диференціальна геометрія в XVIII столітті. Її поява пов’язана з іменами видатних математиків того часу Ейлера і Монжа. Перше зведене твір з теорії поверхонь була написано в 1795 році Монжем «Додаток аналізу до геометрії».

У 1827 Гаусс опублікував роботу «Загальне дослідження про криві поверхні», в якій виклав основи теорії поверхонь в її сучасному вигляді. З цього моменту диференціальна геометрія отримала офіційний статус самостійної галузі математичної науки.

Полігональне наближення кривої

Науково-дослідні роботи з диференціальної геометрії К. Гаусса (1777-1855гг.), Г. Дарбу (1842-1917гг.), Л. Біанкі (1856-1928гг.) І Л.Ейзенхарта (1876-1965гг.) Були присвячені, головним чином, властивостями, що виявляється в малій околиці звичайної точки різноманіття. Предмет цих досліджень став суттю так званої диференціальної геометрії «в малому». Починаючи з 1930-х років, дослідження математиків були спрямовані, перш за все, на вивчення взаємозв’язків між диференціальної геометрії малих околиць і «глобальними» властивостями всього різноманіття. Ця теорію отримала назву диференціальної геометрії «в цілому».

Важливу роль у розвитку геометрії, і диференціальної геометрії, зокрема, зіграло відкриття неевклідової геометрії. У лекції «Про гіпотези, що лежать в основах геометрії», прочитаної Ріманом в 1854 році, були сформульовані основи нової геометрії. згодом ця геометрія стала носити ім’я свого творця. Сьогодні ріманова геометрія є найбільш розвиненою частиною диференціальної геометрії.

гелікоїд
У «Ерлангенском програмі» 1872 року Клейн виклав теоретико-групову точку зору на геометрію. Згідно Клейну, геометрія – це вчення про інваріанта (тобто про незмінних величинах) груп перетворень. Стосовно до диференціальної геометрії це вчення було розвинене Картаном, який створив теорію просторово-проективної і афінної (спорідненої) зв’язності.

Слід зазначити, що диференціальна геометрія є суміжними розділами математики. Однак топологія значно більш молодий розділ, який почав розвиватися лише на початку XX століття.

Найбільш фундаментальна з відомих взаємозв’язків між топологією і диференціальної геометрії встановлюється теоремою Гаусса – Бонні, яка стверджує, що для звичайних замкнутих поверхонь

де інтеграл береться по всій поверхні, K – гауссова кривизна поверхні M, kg – геодезична кривизна δM, a χ (M) – ейлерова характеристика M. На довільні замкнуті ріманови простору цей результат був поширений в 1943 К.Аллендёрфером і А.Вейлем.

Треба сказати, що диференціальна геометрія також як і вся геометрія підрозділяється на кілька основних галузей. До них відносяться:

  • Метрична диференціальна геометрія
  • Диференціальна геометрія кривих.
  • Проективна геометрія.
  • Афінна геометрія.
  • Конформная диференціальна геометрія.
  • Ріманова геометрія.
  • Симплектична топологія.
  • Теорія поверхонь.
  • Фінслерова геометрія.

Спочатку диференціальна геометрія займалася вивченням властивостей кривих поверхонь в звичайному просторі, в даний час в область її вивчення увійшли різноманіття будь-якого числа вимірів, які можуть бути, а можуть і не бути підпросторами евклидова простору.

...
ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Галікарнаський мавзолей