Цілі числа

Познайомившись з поняттям натуральні числа і основними арифметичними діями над ними, можна перейти до наступного вигляду чисел.

Цілі числа Z отримують шляхом об’єднання натуральних чисел з безліччю негативних і нулем. На листі це позначається таким чином: Z = {… -2, -1, 0, 1, 2, …}.

З цього випливає, що цілі числа замкнуті щодо складання, вирахування і множення.

Точне визначення звучить так: безліч цілих чисел Z = {… -2, -1, 0, 1, 2, …} визначається як замикання безлічі натуральних чисел N щодо арифметичних операцій додавання (+) і віднімання (-). Отже, сума, різниця і твір двох цілих чисел дають цілі числа.

Ціле число складається з позитивних натуральних чисел (1, 2, 3) і чисел виду -n і числа нуль.

Негативні числа вперше введені в математичний тезаурус Міхаелем Штіфель в книзі «Повна арифметика», написаної в 1544 році.

До основних алгебраїчних властивостях додавання і множення будь-яких цілих чисел відносяться:

Замкнутість: при додаванні – a + b = ціле, при множенні a × b = ціле;
Асоціативність: при додаванні a + (b + c) = (a + b) + c, при множенні a × (b × c) = (a × b) × c;
Комутативність: при додаванні a + b = b + a, при множенні a × b = b × a
Нейтральний еелементи: при додаванні a + 0 = a; при множенні a × 1 = a;
Протилежний елемент: при додаванні a + (-a) = 0; при множенні a × 1 / a = 1;
Дистрибутивність множення щодо складання: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Перші п’ять перерахованих вище властивостей складання цілих чисел, свідчать про те, що Z є циклічною групою. Це випливає з того, що кожен ненульовий елемент Z може бути записаний у вигляді кінцевої суми 1 + 1 + … 1 або (-1) + (-1) + … + (-1). Таким чином, Z є єдиною нескінченної циклічної групою по додаванню через те, що будь-яка нескінченна циклічна група подібна групі (Z, +).

Перші чотири властивості множення показують те, що Z не є групою по множенню, і, отже, не є полем. Найменша поле, що складається з цілих чисел – це безліч раціональних чисел Q.

Операція звичайного ділення для безлічі цілих чисел не визначена. Однак встановлено так зване розподіл із залишком. Таким чином, для будь-яких цілих чисел a і b,, b <> 0 існує один єдиний набір цілих чисел q і r, де a = b * q + r і, де | b | – Абсолютна величина (модуль) числа b. Тобто, a – ділене, b – дільник, q – приватна, r – залишок. На основі розподілу із залишком розроблений алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника двох цілих чисел.

Позитивним називають ціле число в тому випадку, якщо воно більше нуля, негативним – якщо менше нуля.

До речі сказати, що нуль не є позитивним або негативним.

Для будь-яких цілих чисел справедливі наступні співвідношення:

якщо a якщо a bc.)
Цілі числа відіграють основну роль у всіх основних мовах програмування. В даний час розробляються теоретичні моделі цифрових комп’ютерів, які матимуть потенційно нескінченне, але рахункове простір.

...
ПОДІЛИТИСЯ: