Алгебраїчні фрактали

Фрактал, з математичної точки зору, це, перш за все, безліч з дробової, проміжної, «не цілою» розмірністю. Алгебраїчні фрактали названі так тому, що їх генерують за допомогою алгебраїчних форму, іноді зовсім нескладних.

Алгебраїчні фрактали отримують за допомогою нелінійних процесів в n-мірних просторах. На сьогоднішній момент найбільш вивченими є двомірні процеси. Як відомо, нелінійні динамічні системи володіють декількома стійкими станами. Кожне стійкий стан або аттрактор володіє певною областю початкових станів, з яких система обов’язково потрапить в розглянуті кінцеві стану. З цього випливає, що фазовий простір системи розбивається на області тяжіння аттракторов. Таким чином, якщо фазовим є двомірний простір, то фарбуючи області тяжіння різними кольорами, можна отримати колірний фазовий портрет цієї системи. Зміна алгоритму вибору кольору, дозволяє отримувати складні фрактальні візерунки з неймовірними кольоровими візерунками. Найбільшою несподіванкою для математиків стало відкриття можливості за допомогою примітивних алгоритмів породжувати дуже складні нетривіальні структури.

Існує багато методів отримання алгебраїчних фракталів. Класичним прикладом алгебраїчного фрактала є безліч Мандельброта. Алгоритм його побудова досить простий. В його основі лежить просте багаторазове вираз:

Z [i + 1] = Z [i] * Z [i] + C,
де Zi і C – комплексні змінні. Багаторазовий розрахунок функції виконують для кожної стартової точки C квадратної або прямокутної області до тих пір, поки не буде виконано певну умову:

Z [i] прагне до нескінченності;
Прямує до нуля.
Прийнявши кілька фіксованих значень, не виходить за їх межі.
Хаотична поведінка.

Рандомізований фрактал на основі безлічі Жюліа
Безлічі Мандельброта належать тільки ті точки, які протягом нескінченного числа ітерацій не йдуть в нескінченність (ці точки фарбуються в чорний колір).

Не менш популярним є метод побудова фракталів, заснований на комплексній динаміці. В результаті утворюються біоморфи, фрактали нагадують живі організми.

...
ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Що означає слово «ІМХО»