Умовна ймовірність та випадкові процеси

Уявімо тепер, що нас цікавить наступ двох різних подій. Припустимо, що дитяча кінноспортивна школа складається з двох секцій: виїздки та конкуру. Виїждженням займається 15 дівчат і 5 хлопців, а конкуром – 10 дівчат і 20 юнаків. Яка ймовірність того, що перший зустрінутий нами в школі учень буде займатися конкуром? Домовимося вважати зустріч з членом секції конкуру сприятливим подією. Взагалі ж подією будемо вважати зустріч з будь-яким з займаються в цій спортивній школі учнів. Тоді загальне число можливих подій дорівнює 15 + 5 + 10 + 20 = 50. Число сприятливих подій дорівнює 30. Отже, цікавить нас ймовірність дорівнює 30/50 = 0,6. Тепер припустимо, що, зайшовши в школу, ми зустріли дівчину. Яка ймовірність того, що вона займається конкуром? Очевидно, що ймовірність дорівнює відношенню числа дівчат, які займаються конкуром, до загального числа дівчат у школі, т. Е. 10/25 = 0,4. Ми бачимо, що ця ймовірність менше попередньої. Звідки взялася ця різниця? У першому випадку ми знали тільки число учнів, що займаються конкуром або виїждженням. Тепер у нас з’явилися додаткові відомості: виявилося, що зустрінутий учень, вірніше учениця, жіночої статі. Таким чином, величина 0,4 означає ймовірність того, що перший зустрінутий нами людина займається конкуром за умови, що він жіночої статі. Таку ймовірність називають умовною, і вона може відрізнятися від раніше обчисленої ймовірності. Таким способом можна обчислити і інші ймовірності, обираючи різні умови. Яка безумовна ймовірність зустріти в кінноспортивної школі юнака? Очевидно, 0,5, так як рівно половину з усіх учнів складають юнаки. А яка ймовірність зустріти юнака за умови, що він займається в секції виїздки? Оскільки з 25 юнаків, що займаються в кінноспортивної школі, тільки 5 займаються виїздки, то ймовірність такої події дорівнює 5/25 = 0,2.
Якщо ймовірність події А не змінюється в залежності від того, настало подія В чи ні, то події А і В називають незалежними. Наприклад, імовірність того, що завтра буде дощ, ніяк не пов’язана з тим, яку оцінку ви отримали з природознавства. Якщо події А і В незалежні, то ймовірність того, що настане і те і інше, дорівнює добутку ймовірностей цих подій. Наприклад, ми хочемо визначити ймовірність того, що завтра одночасно відбудуться два приємних події, обидва з яких є випадковими і незалежними: чи не відбудеться урок з природознавства та в буфет привезуть особливо смачні тістечка. Ми знаємо, що урок скасовують в середньому один раз з десяти, а тістечка завозять в середньому один раз на три дні. Вираз «в середньому» означає, що ми не знаємо точно, в який день не відбудуться урок або привезуть тістечка. Ми знаємо тільки, що 10 з 100 уроків зазвичай з тієї чи іншої причини скасовують, а протягом 30 навчальних днів цікавлять нас тістечка привозять 10 разів. Можлива, наприклад, така ситуація, коли підряд 3 уроки не відбудуться через хворобу вчителя, потім протягом місяця не буде скасований жоден, а потім 4 заняття підряд буде пропущено через карантин і т. Д. Точно так само тістечка можуть привозити 3 дні поспіль, потім 10 днів не привезти жодного разу, а потім знову 2 дні поспіль, знову тиждень жодного разу і т. д. У цьому випадку і кажуть, що скасування уроку або доставка тістечок є випадковими подіями. Ми не знаємо точно, чи наступить ту чи іншу подію, але можемо визначити його ймовірність. Ми знаємо, що ймовірність того, що завтра не буде природознавства, дорівнює 1/10, а ймовірність поласувати тістечком – 1/3. Значить, ймовірність того, що завтра пощастить відразу в двох подіях, дорівнює 1/10 • 1/3 = 1/30.
Умовна ймовірність має велике значення в тих випадках, коли треба передбачати майбутні події або розраховувати протікання будь-яких процесів, не знаючи в точності, які випадкові фактори можуть втрутитися в хід цього процесу. У природі існують процеси, перебіг яких не може бути порушений випадковими втручаннями. Якщо випустити з руки камінь, то можна точно передбачити, коли і в якому саме місці він впаде на підлогу. Вірніше, це можна зробити майже точно, так як можливо, хоча і вкрай малоймовірно, що протягом тієї частки секунди, коли камінь падає, відбудеться, наприклад, землетрус. Можна зустріти процеси, де результат в принципі зумовлений, але можливість втручання випадковості досить велика. Наприклад, ми маємо складний редуктор з системою зубчастих передач, де обертання передається від однієї шестерінки до іншої, від неї – до наступної, і так багато разів. Такий процес в принципі строго визначений і повністю підпорядковується законам механіки. Однак не виключені випадки, коли один зубчик в якій-небудь шестерінки зітреться або в механізм потрапить піщинка, в результаті чого точність механізму буде порушена. Існують, однак, такі процеси, в яких послідовність подій залежить від безлічі причин, які неможливо врахувати.

Такі процеси називають випадковими або імовірнісними.
Розглянемо простий приклад випадкового процесу (рис. 197). Мандрівник хоче пройти з пункту А в пункт Б. З пункту А виходять три дороги: одна веде в пункт Б, друга – в глухий кут, а третя через деякий час роздвоюється так, що одна гілка веде в глухий кут, а друга в пункт Б. У мандрівника немає карти, і на кожній розвилці він вибирає подальший шлях випадково, вважаючи всі варіанти рівноімовірними. Питається, яка ймовірність того, що він потрапить в пункт Б, жодного разу не зайшовши в тупик?
Ймовірність того, що мандрівник вийде з пункту А по кожній з трьох доріг, дорівнює 1/3. Якщо він піде по першій дорозі, він відразу ж потрапить в потрібне місце, т. Е. З імовірністю 1/3 він відразу потрапить в пункт Б. Імовірність піти по другому дорозі теж дорівнює 1/3, але в цьому випадку він потрапляє на розвилку , де йому доводиться вибирати з однаковою ймовірністю між правильною дорогою і шляхом у глухий кут. Імовірність вибору правильної дороги на розвилці становить 1/2.
Вибір напрямку в пункті А ніяк не впливає на вибір напрямку на розвилці, т. Е. Ці події незалежні. Згадаймо, що ймовірність того, що настануть обидва незалежних події, т. Е. Що мандрівник спочатку вибере другий дорогу, а потім дорогу в пункт Б, дорівнює добутку ймовірностей обох подій. Отже, ймовірність того, що мандрівник потрапить в пункт Б цим шляхом, дорівнює 1/3 • 1/2 = 1/6. Обчислимо ймовірність того, що мандрівник взагалі потрапить в пункт Б. Зрозуміло, що якщо він вибере третю дорогу, то ця ймовірність дорівнює нулю, і цей варіант можна не враховувати. Отже, є тільки два варіанти потрапити в потрібне місце: піти або по першій, або по другій дорозі. Вибір або першої, або другої дороги – несумісні події, адже не можна піти відразу по двох дорогах. Тому ймовірність того, що мандрівник потрапить в пункт Б по кожному з цих шляхів, що не зайшовши в тупик, дорівнює сумі ймовірностей для кожного шляху, т. Е. 1/3 + 1/6 = 3/6 = 1/2. Імовірність протилежної події (потрапити в глухий кут) дорівнює 1 – 1/2 = 1/2. Таким чином мандрівник має рівні шанси потрапити в пункт Б або зайти в глухий кут.
При моделюванні природних чи соціально-економічних процесів і при розробці систем автоматичного управління використовують подібного роду ланцюги, що складаються з безлічі кроків (розвилок). Якщо відомі ймовірності вибору кожного з варіантів на різних щаблях процесу, то кінцевий результат часто вдається передбачити з разючою точністю.
Перевірте свої знання
1. У якому випадку події А і В називаються незалежними?
2. Чому дорівнює ймовірність настання відразу двох незалежних подій, якщо ймовірність настання кожного дорівнює відповідно P і Q?
3. Що таке умовна ймовірність?
4. Що таке імовірнісні процеси?

...
ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Гравітація