Скалярний добуток

Як визначити скалярний твір і його властивості? У різних фізичних завданнях зустрічається множення вектора на вектор. Зауважимо, що при множенні векторів результат може бути як числом, так і вектором. Тому розглядають два види множення векторів: скалярний і векторний. Цю операцію розглядають зазвичай як лінійну і комутативну по кожному співмножників. Для позначення векторів можна використовувати такі позначення: <а, b> а х b, (а, b) або ж застосовують позначення Дирака (часто застосовується для стану векторів у квантовій механіці) <а | b>.

Скалярним добутком двох нульових векторів називають число, яке дорівнює добутку довжин (модулів) цих векторів на косинус кута між ними. Скалярний добуток векторів а і b позначають, а х b або (а, b). Згідно з визначенням (а, b) = | а || b | cos?. Враховуючи, що | b | cos? = праb, отримуємо (а, b) = | а | x пра | b |.

Якщо один з векторів нульовий, то скалярний добуток дорівнює нулю. Основні властивості скалярного твори:

Переставний закон: (а, b) = (b, а).
З’єднувальний закон: (?а) xb = ? (а, b).
Розподільний закон а (b + с) = (а, b) + (а, с).
Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності двох нульових векторів є рівність нулю їх скалярного твори.
Вираз а x а називають скалярним квадратом вектора а і позначають як а2. Дорівнює від квадрата довжини вектора, тобто а2 = | а | 2.
З використанням скалярного твори можна легко вивести теорему косинусів:
рис 2 (4)

 

Розглянемо фізичний зміст скалярного твори на прикладі представленого малюнка. Нехай під дією постійної

рис 1 (7)
сили А матеріальна точка змістилася на В. З фізики відомо що робота сили А при переміщенні В дорівнює:

W = | А || В | cos Q = (А, В)

де Q – кут між векторами А і В. Нерівність Коші-Буняковського: для лінійного простору і для будь-яких елементів зі скалярним твором присутній нерівність:

| <А, b> | 2 ? <а, а> <b, b>

Такі поняття як «скалярний твір» та «векторне твір» було введено в 1846 році У. Гамільтоном. Його відкриття було пов’язано кватернионами. Як кватерніони вектори а і b можна розглядати:

a1i + a2j + a3k і b1i + b2j + b3k

Тоді їх скалярний добуток дорівнює взятій з протилежним знаком скалярною частини твору цих кватерніонів (а векторної частини – векторний твір).

...
ПОДІЛИТИСЯ: