Рівняння дотичної

Дотична до кривої в точці – це пряма, яка проходить через цю точку і в певному місці не має з нею інших спільних точок.

Наприклад, дотична кола має тільки одну спільну точку з колом. Дотична може перетинати криву в далеких точках, як показано на малюнку. Рівняння дотичної до кривої y = ? (х) в точці М (х0у0) має такий вигляд:

у = ? (х0) + ? (х0) (х – х0)

де ? (х) – похідна функції ? (х) в точці х0.

Нехай дана функція ? яка в точці х0 має ? (х0) – кінцеву похідну, тоді пряма, яка проходить через дану точку (x0; f (x0)) і яка має кутовий коефіцієнт ? (х0) – називається дотичній. Якщо ж не існує похідна точці х0, в такому випадку можуть бути присутніми два варіанти:

Дотична на графіку також не існує. Наприклад, функція y = | x | в точці (0; 0).
Дана дотична перетворюється на вертикальну. Це твердження буде справедливо для такої функції: y = arcsin x у точці (1; ? / 2).
Пряма, яка не є вертикальною, зображується у вигляді такого рівняння y = kx + b, де k – кутовий коефіцієнт. У такому випадку дотична не є винятком і для того щоб сформулювати рівняння для деякої точки х0, досить знати тільки значення її функції, а також похідною даної точки.

Для того щоб знайти рівняння дотичної, необхідно:

знайти значення функції в точці, яка задана;
знайти похідну функції;
знайти значення похідної функції в точці, яка задана;
знайти твір похідної функції в точці і різниці аргументу функції і абсциси заданої точки;
записати рівняння, ліва частина якого містить залежну змінну у, а права – суму знайденого твору і значення функції в заданій точці.
«Рівняння для мене важливіше, тому що політика – для сьогодення, а рівняння – для вічності».
Альберт Ейнштейн.
Проміжки, на яких функція тільки спадає або тільки зростає, називаються проміжками монотонності функції. У проміжках стійкості показників похідної функції, функція – монотонна. Якщо в кожній точці деякого проміжку похідна функції набуває позитивне значення, тоді функція на цьому проміжку зростає. Якщо в кожній точці деякого проміжку похідна функції набуває негативного значення, тоді функція на цьому проміжку спадає. Якщо в кожній точці деякого проміжку похідна функції набуває невід’ємних значень, тоді функція на цьому проміжку спадаюча, і навпаки.

ПОДІЛИТИСЯ: