Опис абстрактних об’єктів

По відношенню до чуттєвого світу в світі абстрактних об’єктів людина здійснює наукову діяльність, в якій він, використовуючи дедуктивні докази, представлені в різній формі, розвиває наукові знання. При цьому доказ є обгрунтування істинності чи хибності новосформованого або відомого твердження, що включає в себе процес створення абстрактного об’єкта.
Абстрактні об’єкти вивчають такі науки, як математика, сучасна логіка, деякі області теорії систем, кібернетики та теоретичної фізики. У цих науках предметом розгляду, судження служать абстрактні моделі, об’єкти, наприклад точка, лінія, що не мають фізичних розмірів. Докази в повному або строгому сенсі сформульованого поняття можливі лише в математиці і логіці. Ці докази мають справу з ідеалізованими об’єктами – символами, часто знаходяться в деякому співвідношенні з реальними об’єктами фізичного світу.
Важче справа йде з доказами в таких науках, як філософія, історія, психологія і т. П., Де так само, як і в математиці, існують абстрактні об’єкти. Тільки природознавство знаходиться, як предсознание, на кордоні між абстрактним і чуттєвим світом, який безпосередньо пов’язаний з фізичним світом.
У всіх розглянутих об’єктах науки наявність неоднозначних факторів, що є вихідними аргументами, складність і різноманіття причин, що викликають те чи інше явище, обумовлюють необхідність використання в доказі недостатньо обгрунтованих посилок, що призводить до зниження достовірності висновків, наявності в них невизначених факторів W, які в найпростіших випадках відносять до випадковим.
У математиці, де головним і визначальним чинником достовірності виступає людський фактор [24], так само, як і в інших науках, виникають невизначеності, помилки, які призводять до помилкових висновків. У математичній енциклопедії дано таке визначення докази: «Доказ – міркування за певними правилами, що обгрунтовують якесь припущення (твердження, теорему); підставою докази служать вихідні затвердження (аксіоми) … яке доказ відносно, оскільки базується на деяких недовідних положеннях ».
У математиці, для якої характерний аксіоматичний метод дослідження, засоби докази досить чітко визначилися на ранньому етапі її розвитку. При цьому використовується послідовне виведення одних суджень з інших, причому способи виведення допускають точний аналіз. Відзначимо, що початок дедуктивного методу докази в елементарній геометрії, силогістиці було закладено Аристотелем.
Припустимо, що при дослідженні деяких властивостей абстрактного об’єкта створена система понять і аксіом. При цьому можливі наступні ситуації: оцінюються одна теорія, її несуперечність і достовірність; оцінюються дві теорії по одному судженню. При цьому необхідно з’ясувати несуперечність даної системи понять і аксіом для того, щоб гарантувати істинність доведених у ній ситуацій.
Несуперечність – досить складна проблема. Так, Гедель довів, що твердження про несуперечності даної формальної системи в рамках самої системи недоказово, якщо вона несуперечлива. Гільберт писав: «Подумайте: в математиці, цьому зразку достовірності та істинності, освіта понять і хід умовиводів … призводять до безглуздостей. Де ж шукати надійність і істинність, якщо навіть саме математичне мислення дає осічку? ». У продовження цього: «Розвиток теорії пізнання показало, що ніяка форма умовиводи не може дати абсолютно достовірного знання» [2].
Іноді доведене судження являє собою відносну істину, т. Е. Включає в себе не тільки достовірні, але й недостовірні знання. Так, наприклад, застосовність даної логіки до одного кола об’єктів з області G ще не означає можливість застосовності її в більш широкій області G1: G G1. При цьому сформульовані для доказу поняття і визначення, аксіоми призводять до протиріччя при доказах існування об’єктів в іншій області до сформульованими властивостями. Так, при дослідженні динамічних об’єктів (систем) виникає необхідність вивчати їх траєкторії, що представляють собою випадкові процеси. У теорії випадкових процесів, як правило, властивості конкретних фізичних об’єктів не враховуються. Тут розглядається абстрактний об’єкт, якому ставлять у відповідність абстрактний випадковий процес, наприклад марковский, для якого є велика кількість глибоких результатів. Так, для марковських процесів можна побудувати рівняння Фоккера – Планка – Колмогорова, за допомогою якого можна розрахувати надзвичайно важлива властивість випадкового процесу – перехідну щільність ймовірностей. Для цих же процесів, що виступають у ролі абстрактних об’єктів, будуються моделі досягнення кордонів і т. Д. Такі моделі, як правило, не відображають фізичний світ, такі процеси можуть бути і не породжені реальністю, а найважливіше – в тому, що нас не цікавить їхня першопричина: вони самі, відірвані від фізичного світу, суть об’єкт дослідження, першопричина.
В якості прикладів взаємного проникнення різних теорій, що збагатили методи вивчення абстрактних об’єктів, можна розглянути: використання теорії випадкових процесів для дослідження об’єктів математичної фізики [20]; дослідження імовірнісних об’єктів за допомогою теорії потенціалів [43].
В даний час існують глибокі і добре розроблені зв’язки між рівняннями математичної фізики та випадковими процесами, суть яких була відкрита в 20-х роках минулого століття в роботах Н. Вінера, Р. Куранта, К. Фрідріха і Х. Леві. Всі ці роботи зумовили введення нового математичного об’єкта – інтеграла по траєкторіях випадкового процесу, а також більш загального об’єкта – континуального інтеграла, який грає важливу роль в сучасній математичній фізиці. Ці об’єкти використовуються у квантовій механіці (інтеграл Фейнмана), у класичній статистичній фізиці і в ряді областей математики, що зумовило необхідність розробки ефективних засобів їх наближеного обчислення.
Одним з таких методів є метод Монте-Карло, що дозволяє моделювати марковские процеси та інтеграли по траєкторіях більш загального характеру. Недоліком методу прийнято вважати швидкість убування його похибки, яка в разі кінцівки другого моменту використовуваної оцінки поводиться як О (N-1/2), де N – число модельованих траєкторій. Облік апріорної інформації щодо рішення задачі дозволяє зменшити константу при N-1/2, що дозволить комбінувати цей метод з іншими і використовувати наближені рішення при більш грубих припущеннях.

Посилання на основну публікацію