Трансцендентні числа

 Трансцендентне число (від лат. transcendere — переступати, перевершувати) — це дійсне або комплексне число, яке не є алгебраїчним — іншими словами, число, яке не може бути коренем многочлена з раціональними коефіцієнтами (не дорівнює тотожно нулю).

 

Залежно від того, над яким числовим полем розглядають многочлен з цілими коефіцієнтами, областями, над якими розглядаються трансцендентні числа, служать поля дійсних, комплексних або р-адических чисел.

Легко довести (наприклад, від протилежного), що будь-яке трансцендентне число має ірраціонально, але зворотне твердження невірне – рідкісне ірраціональне число має трансцендентністю. Приміром, ірраціональне число є коренем рівняння х2 – 2 = 0.

 

Властивості трансцендентних чисел.

Безліч трансцендентних чисел континуально.

Всі трансцендентні речові числа є ірраціональними, однак зворотне невірно. Наприклад, число Числа Трансцендентні числа — ірраціональне, але не трансцендентне: воно виявляється коренем многочлена Числа Трансцендентні числа (бо є алгебраїчним).

Порядок на множині дійсних трансцендентних чисел изоморфен порядку на множині ірраціональних чисел.

Міра ірраціональності майже всякого трансцендентності числа дорівнює двом.

 

Приклади трансцендентних чисел.

  • Число π.
  • Число e.
  • Десятковий логарифм всіх цілих чисел, крім чисел типу 10n.
  • sin a cos a і tg a, для всіх ненульових алгебраїчних чисел a (по теоремі Ліндемана — Вейєрштрасса).
ПОДІЛИТИСЯ: