Рішення диференціальних рівнянь

 Рішення диференціальних рівнянь. Коли похідні від елементарних функцій виражаються через елементарні функції, то виражати інтеграл через елементарні функції не завжди виходить. В результаті рішення диференціальних рівнянь можна отримати:

  • очевидну залежність функції від змінної.

Рішення диференціального рівняння – це така функція y(x), яка визначена і деяку кількість разів диференціюється в деякій області, при підстановці цієї функції в вихідне рівняння отримують тотожність.

  • очевидну залежність як рівняння типу Ф (y,x)=0 або системи рівнянь.

 

Інтеграл диференціального рівняння – це рішення диференціального рівняння, що має неявний вигляд.

  • залежність, виражена через елементарні функції та інтеграли від них.

 

Рішення диференціального рівняння в квадратурах – це визначення рішення як комбінація елементарних функцій і інтегралів від цих функцій.

  • рішення може не виражатися через елементарні функції.

 

Оскільки рішення диференціальних рівнянь зводиться до знаходження інтегралів, то до складу рішення входить набір сталих C1,C2,C3,…Cn. Число постійних дорівнює порядку рівняння.

 

Загальне рішення диференціального рівняння – це співвідношення виду y = y(x,C1,C2,C3,…Cn), яке залежить від n довільних постійних.

Загальний інтеграл диференціального рівняння – це спільне рішення, має неявний вид Ф(x,y,C1,C2,C3,…Cn) = 0.

Приватне рішення диференціального рівняння – це спільне рішення при заданих значеннях сталих C1,C2,C3,…Cn.

Приватний інтеграл диференціального рівняння – це загальний інтеграл при заданих значеннях сталих C1,C2,C3,…Cn.

 

Загальне рішення диференціального рівняння.

 

Загальне рішення диференціального рівняння — функція найбільшого загального виду, яка при підстановці в диференціальне рівняння виду:

 

Рішення диференціальних рівнянь Загальна інформація

 

звертає його у тотожність.

Якщо кожне рішення диференціального рівняння представимо у вигляді:

 

Рішення диференціальних рівнянь Загальна інформація

 

де Рішення диференціальних рівнянь Загальна інформація — конкретні числа, то функція виду:

 

Рішення диференціальних рівнянь Загальна інформація

 

при всіх допустимих значеннях параметрів (невизначених констант) Рішення диференціальних рівнянь Загальна інформація є загальним розв’язком диференційного рівняння.

ПОДІЛИТИСЯ: