Раціональні числа

 Які числа раціональні? Раціональні числа (на відміну від ірраціональних)– це числа з позитивним чи негативним знаком (цілі і дробові) і нуль. Більш точне поняття раціональних чисел, звучить так:

Раціональне число — число, яке видається звичайної дробу m/n, де чисельник m — цілі числа, а знаменник n — натуральні числа, наприклад 2/3.

Нескінченні неперіодичні дроби НЕ входять в безліч раціональних чисел.

Тому число «Пі» (π = 3,14…), підстава натурального логарифма, e (e = 2,718..) або √2 НЕ є раціональними числами.

Раціональні числа, приклади:

3/4; 9/12; 1/2;

 

Безліч раціональних чисел.

 

 

Крім того, одну дріб можна записати різними способами і видами, але значення її не загубиться. Наприклад, 3/4 і 9/12, будь дріб, яку можна отримати з іншої дробу (і навпаки) множачи їх або ділячи чисельник і знаменник на однакову натуральне число, є одним і тим же раціональним числом). Так як діленням чисельника і знаменника дробу на НОД, можемо отримати єдине подання раціонального числа, яке не можна скоротити, то можемо говорити про їх безлічі як про безліч несократимых дробів з взаємно простими цілим чисельником і натуральним знаменником:

 

 

де gcd(m,n) — НСД чисел m і n.

Безліч раціональних чисел – це природне узагальнення безлічі цілих чисел. Якщо раціонального числа a=m/n знаменник n=1, то a=m буде цілим числом.

 

Кожне раціональне число легко виразити як дріб, в якому чисельник є цілим числом, а знаменник – натуральним числом.

a/b, де a ∈ Z (a належить цілим числам), b∈N (b належить натуральним числам).

 

 

Використання раціональних чисел в реальному житті.

 

У реальному житті безліч раціональних чисел використовується для рахунку частин деяких цілих подільних об’єктів, наприклад, тортів або інших продуктів, які розрізаються на частини перед вживанням, або для грубої оцінки просторових відносин протяжних об’єктів.

 

Властивості раціональних чисел.

 

Основні властивості раціональних чисел.

 

1. Упорядкованість. Для будь-яких раціональних чисел a і b є правило, яке дозволяє однозначно ідентифікувати між ними 1-але й тільки одне з 3-х відносин: «<», «>» або «=». Це правило – правило впорядкування і формулюють його ось так:

2 позитивні числа a=ma/na і b=mb/nb пов’язані тим же відношенням, що і 2 цілих числа ma⋅nb і mb⋅na;

2 від’ємних числа a і b зв’язані відношенням, що і 2 позитивні числа |b| |a|;

коли a позитивно, а b — негативно, то a>b.

∀a,b∈Q (a∨a>b∨a=b)

2. Операція додавання. Для всіх раціональних чисел a і b є правило підсумовування, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число c. При цьому саме число c – це сума чисел a і b і її позначають як (a+b), а процес знаходження цього числа називають підсумовування.

Правило підсумовування виглядає так:

ma/na+mb/nb=(ma⋅nb+mb⋅na)/(na⋅nb).

∀a,b∈Q ∃!(a+b)∈Q

 

3. Операція множення. Для будь-яких раціональних чисел a і b є правило множення, воно ставить їм у відповідність певне раціональне число c. Число c називають добутком чисел a і b і позначають (a⋅b), а процес знаходження цього числа називають множення.

Правило множення виглядає так: mana⋅mbnb=ma⋅mbna⋅nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

 

4. Транзитивність відносини порядку. Для будь-яких трьох раціональних чисел a, b і c, якщо a менше b, а b менше c, то a менше c, а якщо a дорівнює b і b дорівнює c, то a одно c.

∀a,b,c∈Q (a∧b⇒a∧(a = b∧b = c ⇒ a = c)

5. Комутативність додавання. Від зміни місць раціональних доданків сума не змінюється.

∀a,b∈Q a+b=b+a

6. Асоціативність додавання. Порядок складання 3-х раціональних чисел не впливає на результат.

∀a,b,c∈Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Наявність нуля. Є раціональне число 0, воно зберігає всяке інше раціональне число при складанні.

∃0∈Q ∀a∈Q a+0=a

8. Наявність протилежних чисел. У будь-якого раціонального числа є протилежне раціональне число, при їх складання виходить 0.

∀a∈Q ∃(−a)∈Q a+(−a)=0

 9. Комутативність множення. Від зміни місць раціональних множників добуток не змінюється.

∀a,b∈Q a⋅b=b⋅a

10. Асоціативність множення. Порядок перемноження 3-х раціональних чисел не має впливу на підсумок.

∀a,b,c∈Q (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)

11. Наявність одиниці. Є раціональне число 1, воно зберігає всяке інше раціональне число в процесі множення.

∃1∈Q ∀a∈Q a⋅1=a

12. Наявність зворотних чисел. Кожне раціональне число, відмінне від нуля має зворотне раціональне число, помноживши на яке отримаємо 1.

∀a∈Q ∃a−1∈Q a⋅a−1=1

 13. Дистрибутивность множення відносно додавання. Операція множення пов’язана зі складанням за допомогою розподільного закону:

∀a,b,c∈Q (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c

14. Зв’язок стосунки порядку з операцією додавання. До лівої і правої частин раціонального нерівності додають одне і те ж раціональне число.

∀a,b,c∈Q a⇒a+c

15. Зв’язок стосунки порядку з операцією множення. Ліву і праву частини раціонального нерівності можна помножити на однакову невід’ємне раціональне число.

∀a,b,c∈Q c>0∧a⇒a⋅c⋅c

 16. Аксіома Архімеда. Яким би не було раціональне число a, легко взяти стільки одиниць, що їх сума буде більше a.

ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Відсотки