Прості числа

 Просте число — це ціле число (додатне) з розряду натуральних чисел, яка має тільки 2 різних натуральних дільника. Якщо сказати по-іншому, число p тоді буде простим, коли воно більше одиниці і може бути поділено лише на одиницю і на себе самого – p.

Натуральні числа, більші одиниці і числа, які не є простими, називають складовими числами. Т. о., всі натуральні числа діляться на 3 класу: одиниця (має 1 дільник), прості числа (мають 2 дільника) та складені числа (мають більше 2-х дільників).

 

Початок послідовності простих чисел виглядає так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …

 

 

Якщо уявити натуральні числа як добуток простих, то це буде називатися розкладання на прості або факторизація числа.

 

Найбільше відоме просте число – це 257885161 – 1. Це число складається з 17 425 170 десяткових цифр і називається просте число Мерсенна (M57885161).

 

Деякі властивості простих чисел.

 

Припустимо, p — просте, і p ділить ab, тоді p ділить a або b.

Кільце вирахувань Zn буде називатися полем тільки у випадку, якщо n — просте.

Характеристика всіх полів — це нуль, або просте число.

Коли p — просте, а a — натуральне, значить, ap-a можна поділити на p (мала теорема Ферма).

Коли G — кінцева група, у якій порядок |G| ділять на p, значить, у G є елемент порядку p (теорема Коші).

Коли G — кінцева група, і pn — найвища ступінь p, делящая |G|, значить, у G є підгрупа порядку pn, яка називається силовская підгрупа, крім того, число силовских підгруп відповідає pk+1 для деякого цілого k (теореми Силова).

Натуральне p > 1 буде простим лише у разі, якщо (p-1)! + 1 можна подулить на p (теорема Вільсона).

Коли n > 1 — натуральне, значить, є просте p: n < p < 2 n (постулат Бертрана).

Ряд чисел, які обратны до простих, розходиться. Крім того, при Числа. Прості числа..

Числа. Прості числа.

Будь-яка арифметична прогресія типу a, a + q, a + 2 q, a + 3 q, … , де a, q > 1 — цілі взаємно прості числа, містить нескінченне число простих чисел (Теорема Діріхле про простих числах в арифметичній прогресії).

Будь-яке просте число, яке більше трійки, можна представити як 6k+1 або 6k-1, де k — натуральне число. Виходячи з цього, коли різниця декількох послідовних простих чисел (при k>1) однакова, значить, вона точно ділиться на шість — наприклад: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.

Коли p > 3 — просте число, значить, p2-1 ділиться на 24 (працює і на непарних чисел, які не діляться на три).

Теорема Гріна-Тао. Є нескінченні арифметичні прогресії, які складаються з простих чисел.

Жодне просте число не можна представити як nk-1, де n>2, k>1. Іншими словами, число, яке йде за простим, не може бути квадратом або більш високим ступенем з підставою, яка більше двох. Можна зробити висновок, що просте число представлено як 2k-1, значить k — просте.

Жодне просте число не можна представити як n2k+1+1, де n>1, k>0. Іншими словами, число, яке передує простому, не може бути кубом або більш високої непарної ступенем з підставою, яка більше одиниці.

Є многочлени, у яких безліч невід’ємних значень при позитивних значеннях змінних збігається з множиною простих чисел. Приклад:

 

Числа. Прості числа.

 

Цей многочлен містить 26 змінних, має 25. Найнижча ступінь для відомих багаточленів представленого виду — п’ять 42 змінних; найменша кількість змінних — десять при ступені приблизно 1,6·1045. 

 

Дії з простими числами.

 

  • 1. Добуток простих чисел.
  • 2. Різниця простих чисел.
  • 3. Сума простих чисел.
  • 4. Розподіл простих чисел.
ПОДІЛИТИСЯ: