Основні способи розв’язання логарифмічних рівнянь

 Логарифмічними рівнянням називають рівняння, в якому представлені невідомі величини під знаком логарифма.

Рівняння типу log2x=5 або log3(x-1)=0 –логарифмічні.

Логарифмічні рівняння, так само як і показові, відносяться до трансцендентним.

Найпростішим логарифмічним рівнянням представлено рівняння наступне безпосередньо з формулювання логарифма:

 Logаx=b,

 де а і b – задані числа,

х – невідома змінна.

 

Якщо а – не негативне і не дорівнює одиниці число, то у такого рівняння існує єдиний корінь:

 

х = аb.

 

При вирішенні більш складних логарифмічних рівнянь, звичайно, наводимо їх або до вирішення алгебраїчних рівнянь, або до розв’язування рівнянь типу Logаx=b.

Проаналізуємо це на кількох окремих рівняннях.

Знайдемо корені рівняння:

 

logx(x2— 3x+ 6) =2.

 

Відштовхуючись від формулювання логарифму з вищенаведеного рівняння отримуємо, що:

 

x2 = x2 – 3x+ 6,

вирішивши його маємо х = 2.

 

Здійснимо перевірку.

При х = 2

logx(x2-3x+ 6) = log2(4 – 6 + 6) = log2 4 =2.

Отже,

х= 2 – вирішення вказаного рівняння.

Відповідь, х = 2.

 

Знайдемо корені рівняння:

 

lg (x2 -17) = lg (x+ 3).

 

Для знаходження відповіді аналогічних рівнянь застосовуємо нижченаведене властивість логарифмів: якщо логарифми двох чисел з одного і того ж підстави рівні, то рівні і самі ці числа.

І відповідно маємо, що якщо тільки у даного рівняння є корені, то вони будуть задовольняти рівнянню:

 

x2 – 17 = x + 3,

 

звідси отримуємо

x1= 5, x2=-4.

 

Здійснимо підстановку для перевірки при х = 5

 

lg (x2-17) = lg 8і lg (x+ 3) = lg 8.

 

Отже, х= 5 – корінь обраного рівняння.

При х = -4 ліва і права частини цього рівняння не існують, оскільки x2 – 17= – 1 < 0 і x + 3 = -1 < 0. З цього робимо висновок, х = -4 не може бути коренем рівняння.

Відповідь: х = 5.

 

Окремі логарифмічні рівняння приводяться до алгебраїчних рівнянь за допомогою введення нової невідомої величини. Так, наприклад, у рівнянні:

 

log32x – 3log3x – 10 = 0.

 

Якщо log3x прирівняти до в, то рівняння стане квадратним:

 

у 2 – 3у – 10 = 0,

 

розв’язавши його, отримаємо:

y1 = – 2, y2 = 5.

Далі повернемося до у = log3x, отримаємо: якщо log3x= – 2, то x=1/9; якщо ж log3x=5, х = 243.

Виконавши перевірку бачимо, що ці дві величини будуть рішенням обраного рівняння.

Відповідь. x1=1/9; x2 = 243.

 

Окремі рівняння вирішуються методом почленного логарифмування. Так само в разі необхідності застосовують формулу переходу від однієї основи логарифмів до іншої.

ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Розкриття модуля