Натуральний логарифм

 За основу логарифмів нерідко беруть цифру е = 2,718281828. Логарифми за цією підставою називають натуральним. При проведенні обчислень з натуральними логарифмами загальноприйнято оперувати знаком ln, а не log; при цьому число 2,718281828, що визначають підставу, не вказують.

Іншими словами формулювання буде мати вигляд: натуральний логарифм числа х – це показник ступеня, у яку треба звести число e, щоб отримати x.

Так, ln(7,389…)= 2, так як e2=7,389…. Натуральний логарифм числа e= 1, тому що e1=e, а натуральний логарифм одиниці дорівнює нулю, так як e0= 1.

Число е визначає границя монотонної обмеженої послідовності

 

Натуральний логарифм.

 

обчислено, що е = 2,7182818284… .

 

Досить часто для фіксації в пам’яті будь-якого числа, цифри необхідного числа асоціюють з якоюсь визначною датою. Швидкість запам’ятовування перших дев’яти знаків числа е після коми зросте, якщо зауважити, що 1828 — це рік народження Льва Толстого!

Число е є ірраціональним. Французький математик Ерміта (1822 – 1901) обґрунтував, що це число не може бути коренем ніякого алгебраїчного рівняння з цілими коефіцієнтами. Такі ірраціональні числа називаються трансцендентними.

На сьогоднішній день існують доволі повні таблиці натуральних логарифмів.

 

Графік натурального логарифма (функції y = ln x) є наслідком графіка експоненти дзеркальним відображенням відносно прямої у = х і має вигляд:

 

Графік натурального логарифма ln x

 

Натуральний логарифм може бути знайдений для кожного позитивного дійсного числа a як площа під кривою y = 1/x від 1 до a.

Элементарность цієї формулювання, яка зістиковується з багатьма іншими формулами, в яких задіяний натуральний логарифм, стало причиною утворення назви «натуральний».

 

Якщо аналізувати натуральний логарифм, як речову функцію дійсної змінної, то вона виступає оберненою функцією до експоненційної функції, що зводиться до тождествам:

 

e ln(a)=a (a>0)

ln(ea) =a

 

За аналогією з усіма логарифмами, натуральний логарифм перетворює множення додавання, ділення на віднімання:

 

ln(xy) = ln(x) +ln(y)

ln(х/у)= lnx – lny

 

Логарифм може бути знайдений для кожного позитивного підстави, що не дорівнює одиниці, а не тільки для e, але логарифми для інших підстав відрізняються від натурального логарифма лише постійним множником, і, зазвичай, визначаються в термінах натурального логарифма.

 

Проаналізувавши графік натурального логарифма, отримуємо, що він існує при позитивних значеннях змінної x. Він монотонно зростає на своїй області визначення.

При x →0 межею натурального логарифма виступає мінус нескінченність ( –∞ ).При x → +∞ межею натурального логарифма виступає плюс нескінченність ( + ∞ ). При великих x логарифм зростає досить повільно. Будь-яка степенева функція xa з позитивним показником ступеня a зростає швидше логарифма. Натуральний логарифм є монотонно зростаючою функцією, тому екстремуми у нього відсутні.

 

Використання натуральних логарифмів досить раціонально при проходженні вищої математики. Так, використання логарифма зручно для знаходження відповіді рівнянь, в яких невідомі фігурують в якості показника ступеня. Застосування в розрахунках натуральних логарифмом дає можливість добряче полегшити велику кількість математичних формул. Логарифми за основою е присутні при вирішенні значного числа фізичних задач і природним чином входять у математичний опис окремих хімічних, біологічних та інших процесів. Так, логарифми вживаються для розрахунку постійної розпаду для відомого періоду напіврозпаду, або для обчислення часу розпаду у вирішенні проблем радіоактивності. Вони виступають в головній ролі у багатьох розділах математики та практичних наук, до них вдаються у сфері фінансів для вирішення великої кількості завдань, у тому числі і в розрахунку складних відсотків.

ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Система нерівностей