Лінійні функції

 Якщо змінні х, у виражаються за допомогою рівняння Ах + By = C, при цьому числа А, В або принаймні одне з них, не дорівнює нулю, то графіком функціональної залежності є пряма лінія.

Коли С = 0, лінія проходить через початок координат, якщо не дорівнює нулю, то не проходить. Нехай ні А, ні В не дорівнюють нулю; тоді графік перетинає обидві осі координат, відсікаючи на осі абсцис відрізок

Лінійні функції,

а на осі ординат відрізок

Лінійні функції.

При цьому обумовлюється, що масштаби на обох осях однакові.

Лінійні функції

Для пояснення розглянемо приклад: 

Графіком рівняння 2х + 5у = 10 є пряма лінія АВ. Тоді а = 10/2 = 5, а b = 10/5 = 2.

Графіком рівняння 2 – 3х = 9 є пряма лінія А1В1. Тоді, а1 = 9/-3 = -3, а b1 = 9/2 = 4,5.

Вирішуємо рівняння 2х + 5у = 10 по y, знаходимо, що y = mx + b, при цьому m = – А/В; b = С/В.

Отримане рішення у = mx + b є лінійною функцією з графіком у вигляді прямої лінії.

Вирішуємо рівняння 2 – 3х = 9 по y, знаходимо, що:

Лінійні функції

при цьому m = – 3/2 = 3/2; b = 9/2. Графіком функції є пряма лінія А1В1.

Пряма лінія, яка є графіком функції у = mx + b, утворює з додатним напрямком осі абсцис кут, тангенс його дорівнює m, він відсікає на осі ординат відрізок b. Постійна величина m називається кутовим коефіцієнтом.

Для пояснення розглянемо приклад:

Пряма лінія А1В1 , яка є графічним вираженням функції

Лінійні функції,

отримуємо тангенс кута XNB1 = 3/2; OL = 9/2.

Рівняння y = mx (пряма пропорційність) є окремим видом рівняння у = mx + b в тому випадку, коли b = 0.

Рівняння у = b теж є окремим випадком рівняння у = mx + b, для m = 0. При цьому величина стає постійною і незалежною від х.

 

Лінійні функції

 

Проте, її можна вважати функцією змінної величини х, т. к. кожному значенню х відповідає певне значення у; тільки це значення однакове для всіх значень х. Особливістю функції y = b, у випадку, якщо у = 0x + b, є те, що х перестає бути функцією у, т. к. значенням у, не рівним b не відповідає ніяке значення х). Графіком функції у такому разі стає пряма лінія, паралельна осі абсцис (у = b).

Лінія PQ виступає графіком рівняння у = 6, a P1Q1 графічно характеризує рівняння у = – 4.

Рівняння у = b виходить з рівняння Ах + By = C, для випадку якщо А = 0 і b дорівнює відношенню С і В:

Лінійні функції.

 

Якщо В = 0, то рівняння Ах + By = С можна представити у вигляді х = а, т. к. а – це відношення З до А, тобто х буде постійною величиною і можна вважати її функцією змінної величини, при цьому не буде функцією х.

Графіком рівняння лінійної функції х = а є пряма лінія RS, яка паралельна осі ординат. Лінія RS характеризує графік рівняння х = +4, a R1S1 зображує графік рівняння х = – 2.

 

Лінійні функції

Вісь абсцис х показує графік рівняння у = 0 а вісь ординат у ілюструє графік рівняння х = 0.

ПОДІЛИТИСЯ: