Формули скороченого множення

 Математичні вирази (формули) скороченого множення (квадрат суми і різниці, куб суми і різниці, різниця квадратів, сума і різниця кубів) вкрай не замінимі в багатьох областях точних наук. Ці 7 символьних записів незамінні при спрощенні виразів, розв’язанні рівнянь, при множенні багаточленів, скорочення дробів, рішення інтегралів і в чому іншому. А значить буде дуже корисно розібратися як вони виходять, для чого вони потрібні, і найголовніше, як їх запам’ятати і потім застосовувати. Потім застосовуючи формули скороченого множення на практиці найскладнішим буде побачити, що є х і у. Очевидно, що ніяких обмежень для a і b немає, а значить це можуть бути будь-які числові або літерні вираження.

 

І так ось вони:

 

  • Перша х2 – у2 = (х – у) (х+у) .Щоб розрахувати різницю квадратів двох виразів треба перемножити різниці цих виразів на їх суми.
  • Друга (х + у)2 = х2 + 2ху + у2. Щоб знайти квадрат суми двох виразів потрібно до квадрату першого виразу додати подвоєний добуток першого виразу на другий, плюс квадрат другого виразу.
  • Третя (х – у)2 = х2 – 2ху + у2. Щоб обчислити квадрат різниці двох виразів потрібно від квадрата першого виразу відняти подвоєний добуток першого виразу на другий, плюс квадрат другого виразу.
  • Четверта (х + у)3 = х3 + 3х2у + 3ху2 + у3. Щоб обчислити куб суми двох виразів потрібно до кубу першого виразу додати потроєне добуток квадрата першого виразу на другий, плюс потроєне добуток першого виразу на квадрат другого плюс куб другого виразу.
  • П’ята (х – у)3 = х3 – 3х2у + 3ху2 – у3. Щоб розрахувати куб різниці двох виразів необхідно від куба першого виразу відняти потроєне добуток квадрата першого виразу на другий, плюс потроєне добуток першого виразу на квадрат другого мінус куб другого виразу.
  • Шоста х3 + у3 = (х + у) (х2 – ху + у2) Щоб вирахувати суму кубів двох виразів потрібно помножити суми першого та другого виразу на неповний квадрат різниці цих виразів.
  • Сьома х3, у3 = (х – у) (х2 + ху + у2) Щоб провести обчислення різниці кубів двох виразів потрібно помножити різниця першого і другого виразу на неповний квадрат суми цих виразів.

Не складно запам’ятати, що всі формули застосовуються для проведення розрахунків і в протилежному напрямку (справа наліво).

Про існування цих закономірностей знали ще близько 4 тисяч років тому. Їх широко застосовували жителі стародавнього Вавилону та Єгипту. Але в ті епохи вони виражалися словесно або геометрично і при розрахунках не використовували літери.

Розберемо доказ квадрата суми (а + b)2 = a2 +2ab +b2.

Першим цю математичну закономірність довів давньогрецький учений Евклід, який працював в Олександрії в III столітті до н. е.., використовував для цього геометричний спосіб доведення формули, так як літерами для позначення чисел не користувалися і вчені стародавньої Еллади. Ними повсюдно вживалися не “а2“, а “квадрат на відрізку а”, не “ab”, а “прямокутник, укладений між відрізками a і b”.

Посилання на основну публікацію