Дробово-раціональні нерівності

 Дробово-раціональне нерівність, це таке нерівність, у якому є операції ділення на вираз, що містить змінну.

Наприклад:

(х – 3) / (х + 3) + 3/(2 – x) > 5.

 

Тобто до нерівностям цього типу відносять нерівності виду:

 

Раціональні нерівності. Дробово-раціональні нерівності.,

де p(x) і g(x) – многочлени.

 

На відміну від цілих раціональних нерівностей, дробово-раціональні можуть бути визначені не для всіх значень змінної.

Зокрема, потрібно не брати до уваги таку величину х, при якому многочлен g(x) звертається в нуль (оскільки на нуль ділити не допустимо).

З іншого боку, очевидно, що на всіх допустимих значеннях дробово-раціональне вираз Раціональні нерівності. Дробово-раціональні нерівності., і багаточлен – твір p(x) g(x) мають однаковий знак.

Саме тому метод інтервалів для дробово-раціональних нерівностей, має свої специфічні особливості:

1. Дробово-раціональне виразРаціональні нерівності. Дробово-раціональні нерівності., перетворимо в многочлен – твір p`(x) = p(x) g(x).

 

2. Многочлен розкладаємо на непріводімие множники:

p`(x) = an(x2 + b1x + c1)k1,…, ( x2 + b2x + c2) k1 (x -x1)n1… (x –xl)nl).

3. Скорочуємо непріводімие множники другого порядку – квадратні трехчлены.

4. Відзначаємо на числовій осі корені многочлена.

5. По знаку параметра an знаходимо знаки многочлена p`(x) утворилися інтервалах згідно з правилами:

а. На крайньому правому напівінтервалі (коли x > xl) знак многочлена і знак an однакові;

б. Рухаємося по числовій осі вліво. Коли проходимо наступний корінь, xi коли множнику (x – xl)nl притаманна непарна ступінь nl (включаючи один), знак многочлена змінюємо на протилежний, і не змінюємо знак, коли ця ступінь – парна;

ст. По тому, як розмістилися знаки у аналізованого нерівності, беремо у відповідь «позитивні» чи «негативні» інтервали,

р. Коли знак нерівності нестрогий, у відповідь беремо всі рішення многочлена p(x);

д. Неодмінно відкидаємо з відповіді всі рішення многочлена g(x).

Посилання на основну публікацію