Десятковий логарифм

 За основу логарифмів нерідко беруть цифру десять. Логарифмів чисел за основою десять іменують десятковими. При проведенні обчислень з десятковим логарифмом загальноприйнято оперувати знаком lg, а не log; при цьому число десять, що визначають підставу, не вказують. Так, замінюємо log10105 на спрощене lg105; а log102 на lg2.

Для десяткових логарифмів типові ті ж особливості, які є у логарифмів при підставі, більшому одиниці. А саме, десяткові логарифми характеризуються виключно для позитивних чисел. Десяткові логарифми чисел, більших одиниці, позитивні, а чисел, менших одиниці, негативні; з двох від’ємних чисел більшого еквівалентний і більший десятковий логарифм і т. д. Додатково, десяткові логарифми мають відмінні риси і своєрідні ознаки, якими і пояснюється, навіщо в якості основи логарифмів комфортно віддавати перевагу саме цифру десять.

Перед тим як розібрати ці властивості, ознайомимося з нижченаведеними формулюваннями.

Ціла частина десяткового логарифма числа а називається характеристикою, а дробова — мантиссой цього логарифма.

Характеристика десяткового логарифма числа а вказується як [lg], а мантиса як {lg а}.

Візьмемо, скажімо, lg 2 ≈ 0,3010.Відповідно[lg 2] = 0, {lg 2} ≈ 0,3010.

Подібно і для lg 543,1 ≈2,7349. Відповідно,[lg 543,1] = 2, {lg 543,1}≈ 0,7349.

Досить повсюдно вживається обчислення десяткових логарифмів позитивних чисел за таблицями.

 

Характерні ознаки десяткових логарифмів.

 

Перший ознака десяткового логарифму. Десятковий логарифм цілого не від’ємного числа, представленого одиницею з наступними нулями, є ціле позитивне число, рівне кількості нулів у запису обраного числа.

Візьмемо, lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

Узагальнено, якщо

Десятковий логарифм

То а= 10n, з чого отримуємо

lg a = lg 10n = lg n 10 = п.

 

Другий ознака. Десятковий логарифм позитивної десяткового дробу, показаний одиницею з попередніми нулями, дорівнює п, де п – чисельність нулів у поданні цього числа, враховуючи і нуль цілих.

Розглянемо, lg 0,001 = – 3, lg 0,000001 =-6.

Узагальнено, якщо

Десятковий логарифм.,

То a= 10-n і виходить

lga= lg 10n =-lg n 10 =-п

 

Третя ознака. Характеристика десяткового логарифма не від’ємного числа, більшого одиниці, дорівнює кількості цифр цілої частини цього числа виключаючи одну.

Розберемо цей ознака 1) Характеристика логарифма lg 75,631 прирівняна до 1.

І правда, 10 < 75,631 < 100. З цього можна зробити висновок

lg 10 < lg 75,631 < lg 100,

або

1 < lg 75,631 < 2.

Звідси випливає,

lg 75,631 = 1 +b,

де б — відома правильна позитивна дріб. І, отже,

[lg 75,631] = 1,

Саме це і потрібно було обґрунтувати.

2) Характеристика логарифма lg 5673,1 =3.

І дійсно,

1000 < 5673,1 < 10 000.

Відповідно

lg 1000 < lg 5673,1 < lg 10 000,

або

3 < lg 5673,l < 4.

можна уявити як,

[lg 5673,1] = 3.

За великим рахунком, якщо ціла частина не від’ємного числа а, більшої одиниці, включає п цифр, то

10n-1<а< 10n.

З чого робимо узагальнення

lg 10n -1Десятичный логарифмlgа< lg 10n.,

 

або

 

n-1 < lg a < n.

І можна укласти,

[lg a] = n – 1.

 

Четвертий ознака десяткового логарифму. Характеристика десяткового логарифма позитивної десяткового дробу, меншою одиниці, дорівнює – п, де п – число нулів в заданій десяткового дробу перед першою значущою цифрою, включаючи і нуль цілих.

 

Розберемо. Характеристика логарифма lg 0,0015=-3.

 

Обгрунтовано,

 

0,001 < 0,0015 < 0,01.

 

отримуємо

 

lg 0,001 < lg 0,0015 < 0,01 lg,

 

або

 

– 3 < lg 0,0015 < -2.

 

Виходить, lg 0,0015 = – 3 + б, де б – відома правильна позитивна дріб. І таким чином

 

[lg 0,0015] = -3.

 

Характеристика логарифма lg 0,6 = – 1. І в правду вірно.

 

0,1< 0,6 < 1.

 

маємо

 

lg 0,1 < lg 0,6< lg 1,

 

або

 

-1 < lg 0,6 < 0.

 

Внаслідок цього отримуємо ,

 

lg 0,6 = -1+ b,

 

де б — відома правильна позитивна дріб. І, таким чином

 

[lg0,6] = -1.

 

Узагальнюючи розглянуте вище зробимо висновок: якщо перед першої значущої цифри правильної десяткового дробу б є з п нулів (включаючи нуль цілих), то

 

Десятковий логарифм.

 

або

n < lga < – (n – 1).

З чого можна вивести,

[lg a ] = – n.

 

П’ятий ознака. Якщо помножити числа на 10n ,то десятковий логарифм його зросте на п.

Справді, за формулою логарифма твору

lg (а • 10n) = lg a + lg 10n = lg a + п.

 

Візьмемо,

 

lg (739,15 •100) = lg 739,15 + 2;

 

lg (28 •10000) = lg 28 + 4.

 

Переміщення коми в позитивній десяткового дробу на п знаків вправо рівноцінно операції перемноження заданої дробу з 10n. Отже, при переміщенні коми в позитивній десяткового дробу на п знаків вправо десятковий логарифм зросте на п.

 

Шостий ознака. Якщо поділити число на 10n, то десятковий логарифм зменшується на п.

Розглянемо,

lg 2,68/100= lg 2,68-2;

lg 0,46/1000 = 0,46 lg – 3.

При переміщенні коми в позитивній десяткового дробу на п знаків вліво десятковий логарифм зменшується на п.

Наприклад, lg 0,3567 = lg 35,67 -2;lg 0,00054 = lg 0,54 -3.

Всі обгрунтовані раніше ознаки десяткових логарифмів стосувалися їх характеристики. Далі розберемо ознаки мантиси десяткових логарифмів.

 

Сьомий ознака десяткового логарифму. Мантиса десяткового логарифма позитивного числа, не змінюється, якщо помножити це число на 10n з заданим цілим показником п.

 

Обґрунтовано, що при заданому цілому п (як позитивному, так і негативному)

 

lg (а • 10n) = lg a + lg 10n = lg a + п.

 

Але дробова частина числа, не змінюється при додаванні до нього цілого числа.

 

Зміщення коми десяткового дробу вправо або вліво рівнозначно операції перемноження цього дробу на ступінь числа десять з цілим показником п (позитивним або негативним). І отже, при зміщенні коми в позитивній десяткового дробу вліво або вправо мантиса десяткового логарифма цього дробу не змінюється.

 

Так, {lg 0,0053} = {lg 0,53} = {lg 0,0000053}.

ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Раціональні числа