Моделі оптимального планування

Проблема, до обговорення якої ми тепер переходимо, називається оптимальним плануванням. Об’єктами планування можуть бути самі різні системи: діяльність окремого підприємства, галузі промисловості або сільського господарства, регіону, нарешті держави. Постановка завдання планування виглядає наступним чином:
– Є деякі планові показники: X, У, та ін .;
– Є деякі ресурси: R1, R2 та ін., За рахунок яких ці планові показники можуть бути досягнуті. Ці ресурси практично завжди обмежені;
– Є певна стратегічна мета, що залежить від значень X, В та ін. Планових показників, на яку слід орієнтувати планування.
Потрібно визначити значення планових показників з урахуванням обмеженості ресурсів за умови досягнення стратегічної мети. Це і буде оптимальним планом.
Наведемо приклади. Нехай об’єктом планування є дитячий садок. Обмежимося лише двома плановими показниками: кількістю дітей і кількістю вихователів. Основними ресурсами діяльності дитсадка є обсяг фінансування і площі приміщення. А які стратегічні цілі? Природно, однією з них є збереження і зміцнення здоров’я дітей. Кількісною мірою такої мети є мінімізація захворюваності вихованців дитячого садка.
Інший приклад: планування економічної діяльності держави. Безумовно, це дуже складне завдання для того, щоб нам з нею повністю розібратися. Планових показників дуже багато: це виробництво різних видів промислової і сільськогосподарської продукції, підготовка фахівців, вироблення електроенергії, розмір зарплати працівників бюджетної сфери і багато іншого. До ресурсів відносяться: кількість працездатного населення, бюджет держави, природні ресурси, енергетика, можливості транспортних систем та ін. Як ви розумієте, кожен з цих видів ресурсів обмежений. Крім того, найважливішим ресурсом є час, відведений на виконання плану. Питання про стратегічні цілі досить складний. У держави їх багато, але в різні періоди історії пріоритети цілей можуть мінятися. Наприклад, у воєнний час головною метою є максимальна обороноздатність, військова міць країни. У мирний час в сучасному цивілізованому державі пріоритетною метою має бути досягнення максимального рівня життя населення.
Якщо ми хочемо використовувати комп’ютер для вирішення завдання оптимального планування, то нам знову потрібно побудувати математичну модель. Отже, все, про що говорилося в прикладах, має бути переведено на мову чисел, формул, рівнянь та інших засобів математики. У повному обсязі для реальних систем ця задача дуже складна. Як і раніше, ми підемо по шляху спрощення. Розглянемо дуже простий приклад, з якого ви отримаєте уявлення про один з підходів до вирішення завдання оптимального планування.
Приклад. Шкільний кондитерський цех готує пиріжки і тістечка. У силу обмеженості ємності складу за день можна приготувати в сукупності не більше 700 штук виробів. Робочий день в кондитерському цеху триває 8:00. Оскільки виробництво тістечок більш трудомістке, то якщо випускати тільки їх, за день можна провести не більше 250 штук, пиріжків ж можна виробити 1000 штук (якщо при цьому не випускати тістечок). Вартість тістечка вдвічі вище, ніж вартість пиріжка. Потрібно скласти такий денний план виробництва, щоб забезпечити найбільшу виручку кондитерського цеху.
Зрозуміло, це чисто навчальний приклад. Навряд чи існує такий кондитерський цех, який випускає всього два види продукції, та й найбільша виручка – не єдина мета його роботи. Але зате математично формулювання завдання буде простою. Давайте її виробимо.
Плановими показниками є:
– Х – денний план випуску пиріжків;
– У – денний план випуску тістечок.
Що в цьому прикладі можна назвати ресурсами виробництва? З того, про що йдеться в умові задачі, це:
– Тривалість робочого дня – 8:00;
– Місткість складського приміщення – 700 місць.
Передбачається для простоти, що інші ресурси (сировина, електроенергія та ін.) Не обмежені. Формалізацію мети (досягнення максимальної виручки цеху) ми обговоримо пізніше.
Отримаємо співвідношення, наступні з умов обмеженості часу роботи цеху і місткості складу, т. Е. Сумарного числа виробів.
З постановки задачі випливає, що на виготовлення одного тістечка витрачається в 4 рази більше часу, ніж на випічку одного пиріжка. Якщо позначити час виготовлення пиріжка як t хв, то час виготовлення тістечка дорівнюватиме 41 хв. Значить, сумарний час на виготовлення х пиріжків і у тістечок одно
tx + 4ty = (х + 4 y) t.
Але цей час не може бути більше тривалості робочого дня. Звідси випливає нерівність:
(х + 4y) t <= 8 * 60,
або
(х + 4y) t <= 480.
Легко порахувати t – час виготовлення одного пиріжка. Оскільки за робочий день їх може бути виготовлено 1000 штук, то на один пиріжок витрачається 480/1000 = 0,48 хв. Підставляючи це значення в нерівність, отримаємо:
(х + 4y) * 0,48 <= 480.
Звідси
х + 4у <= 1000.
Обмеження на загальне число виробів дає абсолютно очевидне нерівність:
х + у <= 700.
До двох отриманим неравенствам слід додати умови позитивності значень величин х і у (не може бути негативного числа пиріжків і тістечок). У підсумку одержимо систему нерівностей:
х + 4у <= 1000;
х + у <= 700;
х => 05
у => 0.
А тепер перейдемо до формалізації стратегічної мети: отриманню максимальної виручки. Виручка – це вартість всієї проданої продукції. Нехай ціна одного пиріжка – г рублів. За умовою задачі, ціна тістечка в два рази більше, т. Е. 2r рублів. Звідси вартість всієї виробленої за день продукції дорівнює
rх + 2ry = r (х + 2у).
Метою виробництва є отримання максимального виторгу. Будемо розглядати записане вираз як функцію від х, у:
F (x, у) = r (х + 2 у).
Вона називається цільовою функцією.
Оскільки значення r – константа, то максимальне значення F (x, у) буде досягнуто при максимальній величині виразу (х + 2у). Тому в якості цільової функції можна прийняти
f (x, у) = х + 2у.
Отже, одержання оптимального плану звелося до наступної математичної задачі:
Потрібно знайти значення планових показників х і у, що задовольняють даній системі нерівностей і які додають максимальне значення цільової функції.
Отже, математична модель задачі оптимального планування для шкільного кондитерського цеху побудована.
Тепер наступне питання: як вирішити це завдання? Ви вже здогадуєтеся, що вирішувати її за нас буде комп’ютер за допомогою табличного процесора Excel. А ми обговоримо лише підхід до вирішення, не вникаючи в подробиці методу.
Математична дисципліна, яка присвячена вирішенню таких завдань, називається математичним програмуванням. А оскільки в цільову функцію f (x, у) величини х і у входять лінійно (т. Е. В першого ступеня), то наше завдання відноситься до розділу цієї науки, який називається лінійним програмуванням.
Система написаних вище нерівностей представляється на координатній площині чотирикутником, обмеженим чотирма прямими, відповідними лінійним рівнянням:
х + 4у = 1000,
х + у = 700,
х = 0 (вісь Y),
у = 0 (осьХ).

Посилання на основну публікацію