Властивості рівнобедреного трикутника

Трикутник має ряд властивостей, які відрізняють його від довільної фігури. Саме ці властивості багато в чому допомагають вирішенню завдань, пов’язаних з рівнобедреним трикутником. У цій статті ми детально розберемо кожен з ознак, наведемо докази і поговоримо про зворотні теореми.

Теорема 1

У трикутник кути при основі рівні.

Це властивість кутів рівнобедреного трикутника можна легко і швидко довести. З вершини на підставу опустимо висоту BH. В результаті отримаємо два прямокутних трикутника, у яких катет BH буде загальним, а гіпотенузи АВ і ВС рівні між собою, так як є бічними сторонами рівнобедреного трикутника.

Тоді трикутники АВН і ВСН рівні по гіпотенузі і катету.

У роботі з прямокутними трикутниками корисні теореми рівності, які значно спрощують доказ. Будь-яку з них можна вивести з 3 основних теорем рівності трикутників, але це займає зайвий час, яке можна заощадити, просто запам’ятавши 5 ознак рівності прямокутних трикутників.

Раз трикутники рівні, то відповідні елементи теж рівні, тобто кут ВАН і кут ВСН рівні між собою. Що й потрібно було довести.

Теорема 2

Перед формулюванням теореми, потрібно сказати, що теорем всього 4, але 2, 3 і 4 схожі між собою. Тому доведемо тільки 2, а решта просто сформулюємо.

У трикутник висота, проведена до основи, є так само биссектрисой і висотою.

Проведемо в трикутнику АВС висоту ВН. Вона розділити трикутник на два прямокутних, які будуть рівні між собою по гіпотенузі і катету, так само, як і в доведенні першої теореми. Якщо трикутники рівні, значить, відповідні елементи теж рівні.

Значить відрізок AH = HC. А це означає, що BH є медіаною. Так як медіана, це відрізок, що з’єднує вершину трикутника і середину протилежної сторони.

Кути АВН і НВС рівні, а значить, відрізком ВН кут АВС ділиться навпіл, тобто ВН є його бісектрисою. Бісектриса це відрізок, який ділить кут навпіл.

Сформулюємо і запишемо короткий доказ останніх двох теорем.

Теорема 3

Медіана, проведена з вершини рівнобедреного трикутника, є так само висотою і бісектрисою.

В цьому випадку ВН буде медіаною. Тоді сторона ВН – загальна для двох трикутників, сторони АВ = ВС – за визначенням рівнобедреного трикутника, АН = НС, так як ВН є медіаною. Значить, трикутники АВН і ВСН рівні за трьома сторонами. Подальше доказ збігається з теоремою 2.

Теорема 4

Бісектриса, проведена з вершини рівнобедреного трикутника, є також медіаною і висотою.

Тоді, кут АВН дорівнює куту НВС за визначенням бісектриси, сторона ВН – загальна, а сторони АВ = ВС – за визначенням. Трикутники АВН і ВСН рівні за двома сторонами і кутом між ними.

Як видно, теореми говорять про одне й те ж, а також мають схожі докази, тому дуже часто запам’ятовують лише другу теорему, приводячи її в рішенні і користуючись, при цьому, всіма трьома. Подібні міркування помилкою не є.

Теорема, зворотна теоремі 1

Теореми, зворотні теореми 2, 3 і 4 не мають сенсу, так як будуть повторювати один одного. Але теорема, зворотна теоремі 1, є одним з ознак рівнобедреного трикутника, тому може використовуватися при вирішенні.

Формулювання: Якщо в трикутнику два кути рівні між собою, то такий трикутник є рівнобедреним.

Це потрібно враховувати, оскільки в задачі не завжди визначають вид трикутника, а без використання властивостей в задачах на цю тему не обійтися.

Що ми дізналися?

Ми розібрали 4 теореми про властивості рівнобедреного трикутника, сформулювали зворотну теорему і розібралися в доказах властивостей. Сказали, що ці властивості характерні тільки для рівнобедреного трикутника і використовувати їх для довільної фігури можна, а також розібралися в тому, як просто і швидко запам’ятати кожне з властивостей.

ПОДІЛИТИСЯ: