Властивості прямокутного трикутника

Прямокутний трикутник виділяється на тлі інших трикутників. Прямий кут наділяє його цілим рядом специфічних властивостей. Розберемося, якими саме властивостями володіє прямокутний трикутник і чому.

Що таке прямокутний трикутник?

Прямокутний трикутник – це трикутник, що містить прямий кут.

Сторона, що лежить навпроти прямого кута, зветься гіпотенузою, дві інші сторони завжди називаються катетами.

Кожен катет завжди менше гіпотенузи і при цьому сума катетів завжди більше гіпотенузи. Це випливає з теореми про нерівність в трикутнику.

Властивості

Властивості не мають нумерації. Не можна сказати, що катет менше гіпотенузи по властивості 1 або 2. Кажуть просто, що катет менше гіпотенузи по властивості прямокутного трикутника.

Перерахуємо і доведемо властивості прямокутного трикутника:

Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Це не зовсім властивість, це теорема Піфагора, але деякі підручники геометрії вперто продовжують називати його властивістю. З іншого боку теорема працює тільки для прямокутних трикутників, тому в якійсь мірі можна вважати її властивістю. Але в рішенні завжди пишуть «по теоремі Піфагора»
Прямокутний трикутник

Коло, описане навколо прямокутного трикутника, має центр в середині гіпотенузи. Це властивість довести дуже просто. Центр описаного кола – це точка перетину серединних перпендикулярів. Серединні перпендикуляри від катетів завжди будуть перетинатися в середині гіпотенузи. Тому відрізок, який виходить з середини катета, паралельно іншому катету – це середня лінія, що з’єднує катет і гіпотенузу. Ось і все доказ.
У прямокутному трикутнику, медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.

Доведемо цю властивість. У прямокутному трикутнику АВС проведемо медіану ВР. Проведемо пряму ВМ, що проходить через точку Р так, що ВР = РМ. Тоді два трикутника: АМР і ВРС – будуть рівні за двома сторонами і кутом між ними. АР = РС – тому що Р – це кінець медіани, а медіана з’єднує вершину і середину протилежної сторони. Тобто, Р – це середина АС. ВР = РМ з побудови, а кут АРМ дорівнює куту ВРС як вертикальні кути. Раз трикутники рівні, значить, рівні і відповідні елементи і ВР = АР, а значить ВР = АР = РС.

Малюнок до задачі

У прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90 градусів. У будь-якому трикутнику сума кутів дорівнює 180 градусам. У прямокутному трикутнику один з кутів завжди відомий – прямий. Значить можна навести таку формулу для доказу цього властивості прямокутного трикутника: 180-90 = 90.

З цього твердження так само випливає факт того, що існування тупокутного прямокутного трикутника неможливо.

ПОДІЛИТИСЯ: