Властивість бісектриси трикутника

Бісектриса трикутника – це унікальний відрізок; він один з найскладніших по сприйняттю і розумінню. Легко зрозуміти і усвідомити, що таке висота, можна розібратися з визначенням і призначенням медіани, але бісектриси – це складно. Просто тому, що основою для розуміння бісектриси служить розуміння кута, а це не так легко засвоїти, як величину відрізка.

Визначення

Які визначення нам знадобляться в процесі роботи? По-перше, це визначення бісектриси.

Бісектриса – це промінь, що має початок в вершині кута і ділить кут навпіл.

Бісектриса трикутника – це відрізок бісектриси, якої починається в вершині трикутника і закінчується на стороні, протилежній цій вершині.

Вписана окружність – це коло, яка стосується всіх сторін трикутника. Трикутник в цьому випадку називається описаним.

Тепер позначимо основні властивості бісектриси і наведемо для них докази.

Перше, що потрібно позначити, це відмінність понять бісектриси і бісектриси трикутника. Це схожі речі, але властивості биссектрис кутів трикутників не діятимуть на всі бісектриси. Це потрібно запам’ятати.

Властивості бісектриси трикутника

Бісектриса в трикутнику ділить сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам.
Проведемо в трикутнику АВС бісектриси ВК. Після цього проведемо пряму СМ, паралельну цій бісектрисі так, що точка М буде точкою перетину продовження боку АВ.

Тоді два паралельних відрізка ВК і МС відсічуть від сторін кута ВАС пропорційні відрізки. Тобто: АВ: АК = ВМ: КС. Доведемо, що ВМ = ВС. Для цього подивимося на трикутник ВМС. Кут АВК дорівнює куту ВМС, як відповідні кути паралельних прямих при січної АМ. З іншого боку кут КВС дорівнює куту ВСМ, як навхрест лежачі при паралельних прямих і січній ВС. Але при цьому кут АВК дорівнює куту КВС, так як ВК – це бісектриса. Запишемо всі у вигляді рівності для більшого розуміння.

АВК = ВМС

КВС = ВСМ

АВК = КВС, значить кути ВМС і МСВ рівні, а трикутник МВС – рівнобедрений. Тоді ВМ = ВС і АВ: АК = ВС: СК. Що й потрібно було довести.

Бісектриса рівновіддалена від сторін кута, в якому вона проведена.

Це властивість не бісектриси трикутника, а будь-який бісектриси, тому її доказ простіше розглядати на малюнку кута.

Намалюємо кут АВС і проведемо в ньому бісектрису ВМ. Відстань від бісектриси до сторони в будь-якій точці це перпендикуляр. Тому виберемо довільну точку на бісектрисі. Назвемо її D і опустимо перпендикуляр на сторону АВ в точку Р і на сторону ВС в точку N. Тоді ми отримаємо два прямокутних трикутника: DРВ і DNB, рівні між собою по гіпотенузі ВD, яка буде спільною стороною трикутників, і гострого кута, так як кут PBD дорівнює куту DBN, так як ВМ – бісектриса. Значить, і сторони PD = DN – як відповідні елементи. Доказ просте, але витончене. Знання цього властивість допоможе в доказі наступної теореми.

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, і ця точка служить центром вписаного кола. Це доводиться дуже просто, необхідно з точки перетину опустити перпендикуляри до кожної сторони.

Що ми дізналися?

Ми дізналися, що таке бісектриса трикутника і чим вона відрізняється від звичайної бісектриси. Виділили три властивості бісектриси трикутника, які стануть в нагоді при вирішенні завдань і доказі теорем.

ПОДІЛИТИСЯ: