Точка перетину бісектрис трикутника

У трикутнику є три характерні лінії: висоти, медіани і бісектриси. Для кожної з цих ліній є своя точка перетину, що характеризує трикутник. Першою завжди вивчають точку перетину бісектрис, тому що саме вона дає уявлення про взаємозв’язок величин трикутника і пов’язаних з ним кіл.

Визначення

Точка з’єднання бісектрис це одна з найбільш проблемних точок. Вона веде до розуміння вписаних і описаних фігур, сприйняття яких дуже ускладнено. Доводиться думати не тільки про трикутнику, а ще й про кіл, вписаного і описаного, що ускладнює вирішення завдання.

Але з іншого боку, значення радіусів вписаного і описаного кола фігурує в багатьох формулах, що дозволяє спростити рішення багатьох завдань. Але для початку розберемося, що таке вписана і описана окружність, а потім дізнаємося, як це пов’язано з точкою перетину бісектрис і пов’язано взагалі.

У довільному гострокутна трикутнику характерні точки не збігаються, а з’єднавши їх можна отримати золотий перетин трикутника, для правильного трикутника золотий перетин є точкою. У трикутник золотий перетин стає лінією.

Вписана кружність, це коло, яка стосується кожної зі сторін трикутника.

Центр такої окружності називається інцентром трикутника. При цьому, інцетр, або точка перетину бісектрис тупокутного трикутника завжди знаходиться всередині трикутника, на відміну від висот.

Відстань від інцентра до кожної зі сторін однаково і є радіусом вписаного кола. Трикутник в такому випадку буде вважатися описаним навколо кола.

Описаної окружністю вважається окружність, що стосується кожної з вершин трикутника. Тобто, кожна вершина повинна входити в кордон кола. Трикутник в цьому випадку навпаки буде вважатися вписаним, а відстань від вершин трикутника до центру кола буде завжди однаковим і рівним радіусу описаного кола.

Теореми про точку перетину бісектрис

Теорема, насправді, одна, але доказ розбите на дві частини. Формулювання звучить так: бісектриси трикутника перетинаються в одній точці і ця точка є центром вписаного кола.

Спочатку доведемо, що три бісектриси перетинаються в одній точці. Для цього в трикутнику АВС проведемо бісектриси ВМ, СР і АК. Точку перетину позначимо О. Тоді розглянемо кожну бісектрису окремо. Для бісектриси АК відстані до сторін трикутника а й в, повинні бути однакові. Для бісектриси СР відстані з і а повинні бути однакові. Для бісектриси ВМ відстані в і з повинні бути однакові. Відрізки а, в і з рівні між собою по властивості бісектриси: будь-яка геометрична точка на бісектрисі рівновіддалена від сторін кута.

А точка рівновіддалена від кожної зі сторін може бути тільки одна. Досить спробувати поставити крапку перетину в іншому місці і відразу стане помітно, що умова не дотримується, що неможливо.

Ми вже сказали, що в трикутнику тільки одна точка може бути рівновіддалена від усіх сторін. Це означає, що коло з центром в цій точці буде вписана в трикутник, так як радіус цієї окружності буде перпендикулярний стороні трикутника. Тепер доведемо, що в трикутнику може бути тільки одна вписана окружність. Якщо точку про перемістити в будь-яке інше місце трикутника і опустити перпендикуляри на боку, то стане ясно, що перпендикуляри не рівні між собою, а значить в цій точці центр перебувати не може. Що й потрібно було довести.

Що ми дізналися?

Ми дізналися про точку перетину бісектрис трикутника, виділили і довели дві частини теореми. Довели, що в трикутнику може бути тільки одна вписана окружність і дізналися про золотий переріз трикутника.

ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Як побудувати дотичну?