Рівнобедрений прямокутний трикутник

І рівнобедрений, і прямокутний трикутник досить звичні будь-кому, хто знайомий з геометрією. Поєднання цих ознак зустрічається досить рідко і погано піддається візуальному сприйняттю. Не завжди можна представити повний набір властивостей такого трикутника, тому поговоримо про нього детальніше.

Визначення

Трикутник – це трикутник, бічні сторони якого рівні. Прямокутний трикутник містить в собі прямий кут. Значить рівнобедрений прямокутний трикутник – це прямокутний трикутник, катети якого дорівнюють.

Гіпотенуза прямокутного трикутника завжди більше катета. Це випливає з теореми про співвідношення сторін і кутів трикутника. Значить, в прямокутному трикутнику тільки гіпотенуза може бути підставою, а величина гіпотенузи буде відповідати довжині основи.

Властивості

Поговоримо докладніше про властивості і формулах. Не зовсім ясно, як будуть пролягати висоти в такому трикутнику, всі звикли користуватися властивістю, яке говорить про те, що в трикутник висота, проведена до основи, збігається з медіаною і бісектрисою.

У рівнобедреному прямокутному трикутнику така висота завжди буде спрямована з прямого кута до гіпотенузи. А дві інші висоти будуть збігатися з катетами.

Якщо до гіпотенузи прямокутного рівнобедреного трикутника провести висоту, то вона розділить трикутник на два, рівних між собою, рівнобедрених прямокутних трикутника.

Теорема Піфагора для рівнобедреного трикутника виглядає трохи більш спрощеною:

Квадрат гіпотенузи дорівнює подвоєному квадрату катета. Це значно спрощує рішення.

Взагалі, будь-які завдання, пов’язані з прямокутними рівнобокими трикутниками вирішуються дуже просто. Будь-якого значення досить, щоб визначити все інше. Значення будь-якого з катетів досить, щоб визначити гіпотенузу через спрощену теорему Піфагора, а потім знайти периметр і площу прямокутного рівнобедреного трикутника.

Через гіпотенузу можна знайти катет через тригонометричну функцію, так як всі кути прямокутного рівнобедреного трикутника заздалегідь відомі: один кут 90 градусів і два по 45.

Розберемо докладно, чому відомі всі кути. У будь-якому прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90 градусам. Це випливає із загальної суми кутів в трикутнику, яка завжди дорівнює 180 градусам.

При цьому кути при основі рівнобедреного трикутника, а в нашому випадку це завжди гіпотенуза, завжди рівні. Значить, щоб знайти кожен з гострих кутів при гіпотенузі, потрібно їх суму, тобто 90 градусів, розділити навпіл. Виходить, що кожен з кутів при гіпотенузі прямокутного рівнобедреного трикутника буде дорівнює 45 градусам.

Можна розглянути це властивість і з іншого боку: якщо сума двох кутів трикутника дорівнює 90 градусам і ці кути рівні між собою, то цей трикутник є рівнобедреним і прямокутним.

З цього ж властивості виникає рівність синусів і косинусів усіх гострих кутів між собою, а так само рівність тангенсів і котангенсів.

Тобто, синус будь-якого гострого кута трикутника дорівнює косинусу будь-якого гострого кута трикутника і дорівнює (). Тангенс будь-якого гострого кута трикутника дорівнює Котангенс будь-якого гострого кута трикутника і дорівнює 1.

Що ми дізналися?

Ми докладно поговорили про всіх взаємозв’язках властивостей прямокутного і рівнобедреного трикутника. А також про те, як ці зв’язки проявляються в рівнобедреному прямокутному трикутнику. Розібрали в подробицях, чому будь-які завдання на знаходження параметрів прямокутного рівнобедреного трикутника легко вирішуються і виділили основну і єдину проблему в рішеннях таких завдань: труднощі візуального сприйняття.

ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Як побудувати дотичну?