Нерівність трикутника

Будь-яка фігура має якісь рамки, пропорції довжин сторін. У реальному житті вони допомагають визначити, чи можна виготовити трикутне підставу певних пропорцій, наскільки можливо створити лінзу тієї чи іншої форми або може втриматися табуретка на трикутному, квадратному або будь-якому іншому підставі. У теоретичній геометрії пропорції, як правило, застосовують для вирішення завдань на доказ або для визначення правильності умови задачі.

Теорема про нерівність трикутника

Саме з цієї теореми має починатися будь-яке рішення задачі. Але, як правило, це дія опускають. Вважається, що укладач завдань не може запропонувати умова з неіснуючим трикутником.

Теорема про нерівність сторін трикутника говорить, що кожна сторона трикутника завжди менше або дорівнює сумі двох інших його сторін.

За фактом, будь-яка сторона трикутника завжди менше суми двох інших його сторін. Рівність можливо, тільки якщо всі три вершини трикутника лежать на одній лінії. Чи можна вважати таку фігуру трикутником – питання філософів, а не математиків. Тому в формулюванні ставиться знак більше або дорівнює.Довести це визначення можна двома способами: через аксіому Евкліда або через висоту трикутника. Останній спосіб більш логічний, тоді як другий – коротше. Який вибрати – вирішує доводить.

Доказ через аксіому

Існує аксіома, яка говорить, що для трьох точок А, В, С не лежать на одній прямій справедливим є твердження: АВ <ВС + АС.

Ці точки можна прийняти за вершини трикутника, тоді відстані між точками це сторони трикутника.

Доведення

У довільному трикутнику АВС проведемо висоту АН. Висота розіб’є довільний трикутник на два прямокутних. Тоді для кожного з прямокутних трикутників у вигляді нерівностей запишемо, що катет завжди менше гіпотенузи.

Гіпотенуза завжди більше катета тому, що в трикутнику діє ставлення сторін і кутів. Тому навпроти найбільшого кута завжди знаходиться найбільша сторона. А в трикутнику найбільшим кутом завжди є кут в 90 градусів.
ВН <АВ і НС <АС

Складемо два нерівності. Для цього потрібно скласти праві частини нерівностей і ліві зі збереженням знака.

наприклад:

6 <8

1 <5

6 + 1 <8 + 5

7 <13, як видно нерівність все ще вірно. Тепер виконаємо ту ж операцію з співвідношенням сторін в трикутнику:

ВН + НС <АВ + АС

ВН + НС = ВС

Доведення2

Значить, ВС <АВ + АС, тобто сторона менше суми двох інших сторін, що й треба було довести. Висоту можна провести до будь-якій стороні і повторити аналогічне доказ. Як видно, все просто і ясно. Найважче: це розібратися в додаванні нерівностей.

Що ми дізналися?

Ми дізналися про теорему нерівності трикутників. Довели її різними способами, а також поговорили про те, для чого в світі потрібні поняття пропорцій в постатях.

ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Перетин висот трикутника