Квадратура круга

Под квадратурой плоской фигуры разумеют нахождение площади этой фигуры. В более узком смысле квадратурой круга называют задачу на построение, состоящую в том, чтобы по данному кругу построить равновеликий ему квадрат, используя циркуль и линейку. Широкая известность, какой пользуется эта задача на протяжении тысячелетий, обусловлена контрастом между общепонятностью ее формулировки и неудачей всех попыток ее решения. Даже в житейский обиход выражение «квадратура круга» вошло как синоним безнадежного предприятия. Первоначально это представление базировалось на факте неудачи многовековых и разнообразных попыток.

Парижская академия наук, начиная с 1775 года, а затем и ряд других академий наук Европы начали отказывать а принятии на рассмотрение работ на эту тему. Однако только в 19 веке появилось научное обоснование для этих отказов: была однозначно установлена отсутствие решения этой задачи путем построения с использованием только циркуля и линейки. С этого момента заниматься квадратурой круга можно, только оспаривая многократно проверенные результаты современной математики.

Если принять во внимание, что площадь круга, имеющего радиус R есть пR2 (где п — отношение длины окружности к диаметру), а величина площади квадрата со стороной х есть х2, тогда решение задачи следующее: по данному отрезку R построить другой отрезок х, определяемый формулой х=R умножить на корень квадратный из п. Иными словами, требуется выполнить построение, в результате чего этот отрезок был бы умножен на корень квадратный из п.

Из элементарной геометрии известно, что такая задача в ряде случаев разрешима, например, если множитель есть число рациональное (целое или дробное). Но и для некоторых иррациональных множителей мы умеем выполнить построение.

Однако не следует думать, что такое умножение графическое отрезка на число возможно во всех случаях. Трудность задачи коренится в добавочном требовании, к которому настолько привыкли, что часто о нем забывают: требуется выполнить построение с помощью двух определенных инструментов — циркуля и линейки. Поэтому единственно дозволенными чертежными операциями признаются проведение прямых линий и описывание окружностей.

Между тем нет никаких оснований тому, что циркуль и линейка являются универсальными инструментами, с помощью которых возможно решить любую задачу на построение. Действительно, простые соображения, например основанные на элементах аналитической геометрии, показывают, что круг задач, разрешимых циркулем и линейкой, весьма ограничен. В частности умножение графическое отрезка на число выполнимо с помощью этих инструментов только при одном условии: упомянутое число должно быть корнем алгебраического уравнения, имеющего целые коэффициенты и при этом уравнения, которое разрешается в квадратных радикалах.

Доказательство этого утверждения в существенной своей части сводится к тому, что сколько бы мы имели уравнений прямых и окружностей, решение такой системы уравнений не требует иных операций, кроме рациональных и извлечения квадратного корня.

...
ПОДІЛИТИСЯ: