Квадратура кола

Під квадратурою плоскої фігури розуміють знаходження площі цієї фігури. У більш вузькому сенсі квадратурою кола називають задачу на побудову, яка полягає в тому, щоб з даного кола побудувати рівновеликий йому квадрат, використовуючи циркуль і лінійку. Широка популярність, який користується ця задача протягом тисячоліть, обумовлена ​​контрастом між загальнозрозумілих її формулювання і невдачею всіх спроб її вирішення. Навіть в життєвий побут вираз «квадратура кола» увійшло як синонім безнадійного підприємства. Спочатку це уявлення базувалося на факті невдачі багатовікових і різноманітних спроб.

Паризька академія наук, починаючи з 1775 року, а потім і ряд інших академій наук Європи почали відмовляти а прийнятті на розгляд робіт на цю тему. Однак тільки в 19 столітті з’явилося наукове обгрунтування для цих відмов: була однозначно встановлена ​​відсутність вирішення цього завдання шляхом побудови з використанням тільки циркуля і лінійки. З цього моменту займатися квадратурою кола можна, тільки оскаржуючи багаторазово перевірені результати сучасної математики.

Якщо взяти до уваги, що площа кола, що має радіус R є пR2 (де п – відношення довжини кола до діаметру), а величина площі квадрата зі стороною х є х2, тоді рішення задачі наступне: по даному відрізку R побудувати інший відрізок х, який визначається формулою х = R помножити на корінь квадратний з п. Іншими словами, потрібно виконати побудову, в результаті чого цей відрізок був би помножений на корінь квадратний з п.

З елементарної геометрії відомо, що таке завдання в ряді випадків можна вирішити, наприклад, якщо множник є число раціональне (ціле або дробове). Але і для деяких ірраціональних множників ми вміємо виконати побудову.

Однак не слід думати, що таке множення графічне відрізка на число можливо у всіх випадках. Труднощі завдання коріниться в додатковому вимозі, до якого настільки звикли, що часто про нього забувають: потрібно виконати побудову за допомогою двох певних інструментів – циркуля і лінійки. Тому єдино дозволеними креслярськими операціями визнаються проведення прямих ліній і описування кіл.

Тим часом немає ніяких підстав того, що циркуль і лінійка є універсальними інструментами, за допомогою яких можливо вирішити будь-яке завдання на побудову. Дійсно, прості міркування, наприклад засновані на елементах аналітичної геометрії, показують, що коло завдань, вирішуваних циркулем і лінійкою, вельми обмежений. Зокрема множення графічне відрізка на число реально за допомогою цих інструментів тільки за однієї умови: згадане число повинне бути коренем алгебраїчного рівняння, що має цілі коефіцієнти і при цьому рівняння, яке дозволяється в квадратних радикалах.

Доказ цього твердження в істотній своїй частині зводиться до того, що скільки б ми мали рівнянь прямих і кіл, рішення такої системи рівнянь не вимагає інших операцій, крім раціональних і вилучення квадратного кореня.

ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Координати вектора