Довести, що гіпотенуза більше катета

У прямокутному трикутнику гіпотенуза більше кожного з катетів. Чому? Насправді прийти до такого висновку можна кількома способами.

По-перше, якщо знати той факт, що навпроти більшого кута завжди лежить більша сторона, і два непрямих кута прямокутного трикутника гострі, то доказ виглядатиме зовсім просто. Прямий кут дорівнює 90 °, і навпроти нього лежить гіпотенуза. Гострі кути менше 90 °, значить і лежать навпроти них сторони (катети) менше, ніж лежача навпроти прямого кута гіпотенуза.

Доказ можна побудувати по-іншому. Нехай дано прямокутний трикутник ABC з прямим кутом A. В такому разі його катетами будуть відрізки AB і AC, а гіпотенузою відрізок BC.

Проведемо в ньому на промені BC відрізок BD рівний катету AB.

Катет AB менше гіпотенузи BC
Якщо AB більше BC, то точка D опиниться поза гіпотенузи BC, і значить, катет більше гіпотенузи. Якщо ж AB менше BC, то точка D буде лежати на відрізку BC, і це означає, катет менше гіпотенузи.

Розглянемо трикутник ABD. Він рівнобедрений, оскільки AB = BD з побудови. Як відомо, в равнобедренном трикутники кути при основі завжди гострі. Значить ∠BAD <∠BAC, так як ∠BAC прямій. Отже, промінь AD лежить всередині кута ∠BAC і перетинає гіпотенузу BC, тобто лежить на ній, а не за її межами. Оскільки доведено, що BD <BC, а BD = AB (катету), то значить AB <BC (катет менше гіпотенузи).

Точно також можна довести, що й катет AC менше гіпотенузи BC, якщо побудувати відрізок CD, рівний AC.

Катет AC менше гіпотенузи BC
Тут ΔADC рівнобедрений і ∠DAC <∠BAC. Отже промінь AD лежить всередині ∠BAC і перетинає відрізок BC.

ПОДІЛИТИСЯ: