Батько геометрії

У 332 р до н.е. Олександр Македонський без єдиної битви підкорив Єгипет. Щоб закріпити свою владу над цією країною, Олександр проголосив себе фараоном. Заодно він вирішив побудувати там місто, назвавши його власним ім’ям. Саме в Олександрії народився один з найбільш знаменитих математиків в історії – Евклід.

Про життя Евкліда збереглося мало відомостей, куди більше ми знаємо про його працях. Протягом багатьох століть слова «математика» і «Евклід» сприймалися європейцями практично як синоніми. Не слід думати, що Евклід сам відкрив всі математичні істини, які зустрічаються на сторінках його книг. Насправді він зібрав воєдино і упорядкував значну частину математичних знань стародавніх греків. Попередники Евкліда – Фалес, Платон, Піфагор, Аристотель та інші – багато зробили для розвитку геометрії. Але все це були окремі фрагменти, а не єдина логічна схема. Метою Евкліда було побудувати систему так, щоб в ній не залишалося місця для невиправданих припущень, заснованих на вгадуванні, інтуїції або приблизності. Тобто він запозичив результати у попередників, доповнив своїми досягненнями і залишив все це багатство послідовникам.

Головна робота Евкліда «Начала» в основному містить виклад геометрії. Крім того, в ній розглянуто ряд питань теорії чисел і деякі розділи алгебри, які, правда, все викладено з геометричних позицій. За час існування праці, аж до XX ст., Було продано більше його примірників, ніж Біблії.

Книга I «Начала» присвячена вченню про тре-косинцях, параллелограммах і багатокутниках. У книзі III розглядаються кола і їх властивості. У книзі IV мова йде про багатокутники, вписаних в коло або описаних біля неї. Книга VI містить вчення про подібність трикутників і багатокутників. Книги XI-XX відведені стереометрії. У всіх цих книгах містяться докази 465 теорем, вичерпних практично всі геометричне знання того часу.

Евклід дав визначення точці, лінії (прямої або викривленою), окружності, прямого кута, площини і поверхні. Деякі поняття він визначив досить точно. «Паралельні прямі, – писав він, – це прямі лінії, які, перебуваючи на одній площині, продовжені до нескінченності в обох напрямках, ні в одному з цих напрямків не перетинаються».

Окружність по Евклиду є «плоска фі-гура, позначена однією лінією (кривої) так, що всі прямі лінії, які перетинають її і ще одну з точок всередині неї, звану центром, рівні один дру1». Про прямому куті сказано так: «Коли пряма лінія перетинає іншу пряму лінію, а утворюються сусідні кути дорівнюють один одному, кожен з цих кутів прямий».

Виявляється, що це припущення логічно еквівалентно існуванню в точності однієї лінії, паралельної заданої лінії і проходить через задану точку поза цією лінії.

Про що ще повідав Евклід

Евклід здійснив два великих нововведення. Перше – це ідея докази. Евклід не рахував будь математичне твердження істинним, поки воно не встановлено за допомогою послідовності логічних кроків, що дозволяють вивести дане твердження з того, що вже відомо.

Друге нововведення – це усвідомлення того факту, що процес докази повинен починатися з вихідних тверджень, які довести не можна. Евклід формулює п’ять таких фундаментальних припущень-постулатів, на яких ґрунтуються всі його подальші побудови. Чотири з них прості й очевидні: дві точки можна з’єднати прямою лінією; будь-який кінцевий відрізок прямої можна продовжити; можна провести окружність з будь-яким центром і будь-яким радіусом; всі прямі кути рівні між собою.

Але ось п’ятий постулат зовсім іншого роду. Він довгий і складний, а затверджується в ньому зовсім не настільки очевидно. Його основне наслідок полягає в існуванні паралельних прямих – таких, які ніколи не перетинаються, але тривають без обмеження в одному і тому ж напрямку, при цьому завжди перебуваючи на одному і тому ж відстані один від одного. Як дві рейки залізниці.

Насправді Евклід визначає вимога, щоб при перетині двох ліній третьої перші дві перетиналися з того боку, де два освічених кута дають в сумі величину, меншу суми двох прямих кутів.

Наслідки евклідових аксіом

На основі логічних побудов, спираючись на свої аксіоми, Евклід отримав ряд важливих результатів:

  • квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін (це твердження ми знаємо як теорему Піфагора);
  • будь-який кут можна точно розділити на дві рівні частини, використовуючи тільки циркуль і лінійку;
  • можна побудувати правильні багатокутники з 3, 4, 5, 6, 8,10 і 12 сторонами, використовуючи тільки циркуль і лінійку;
  • є рівно п’ять правильних тіл: тетраедр, куб, октаедр, додекаедр і ікосаедр.

Тут ці теореми, як називаються будь-які володіють доказом математичні твердження, викладені на сучасній мові. Але мова Евкліда сильно відрізнявся: він не працював безпосередньо з числами. Все, що ми інтерпретуємо як властивості чисел, формулюється у нього в термінах довжин, площ і обсягів.

ПОДІЛИТИСЯ:

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься.

Дивіться також:
Тригонометрія