Застосування другого закону Ньютона для обертального руху

Згідно з другим законом Ньютона, прискорення тіла під дією сили пропорційно величині сили і обернено пропорційно масі об’єкта:

a = F / m
Задамося питанням, чи діє другий закон Ньютона для обертального руху?

Використовуючи аналоги характеристик поступального і обертального рухів другої закон Ньютона для обертального руху матиме вигляд:

α = M / I
роль прискорення а виконує кутовий прискорення α;
роль сили F – момент сили М;
масу m – замінює момент інерції I.
Припустимо, що тіло рухається по колу під дією прикладеної по дотичній до окружності тангенциальной силою, яка призводить до збільшення тангенциальной швидкості м’ячика, не плутати з нормальною силою, спрямованої уздовж радіуса кола обертання (детально тангенціальна і нормальна швидкість розглянута на сторінці “Параметри обертального руху” ).

другий закон Ньютона і обертальний рух
Помножимо обидві частини рівності, що описує другий закон Ньютона, на радіус кола r:

a · r = F · r / m
Як відомо, F · r = М, тому:

a · r = М / m
М = a · r · m
Таким чином, ми перейшли від другого закону Ньютона для поступального руху до його аналогу для руху обертального. Слід зазначити, що дана формула справедлива тільки для матеріальної точки, для протяжного об’єкта необхідно використовувати інші формули, які будуть розглянуті пізніше.

Щоб завершити перехід від опису поступального руху до обертального, використовуємо зв’язок між кутовим прискоренням α і тангенціальним прискоренням а:

r · α = a
Здійснюємо підставку однієї формули в іншу і отримуємо:

М = a · r · m
r · α = a
M = m · r2 · α
Отримана формула пов’язує момент сили, що діє на матеріальну точку, і її кутового прискорення. Зв’язок здійснюється через коефіцієнт пропорційності m · r2, який називають моментом інерції матеріальної точки і позначають I (вимірюється в кг · м2).

У підсумку, ми отримали еквівалент другого закону Ньютона для обертального руху:

M = I · α
У тому випадку, якщо на тіло діє одночасно кілька сил, другий закон Ньютона приймає наступний вигляд:

ΣF = m · a
ΣF – векторна сума всіх сил, які діють на об’єкт.

У разі, якщо на об’єкт діють одночасно кілька моментів сил, другий закон Ньютона набуде вигляду:

ΣM = I · α
ΣМ – векторна сума всіх моментів сил, які діють на об’єкт.

Посилання на основну публікацію