Задача про обертання твердого тіла

Так знаменитий німецький математик Карл Вейерштрасс називав задачу про обертання твердого тіла (читайте статтю ” Тверді тіла, рідини і гази “) навколо однієї нерухомої точки і відмовляв свою ученицю Софію Василівну Ковалевську (1850-1891) займатися нею. Однак « найрозумніша і чарівна жінка Європи» (за словами Ф. Нансена) не послухають свого старого вчителя і зайнялася цією, за її словами, « диявольською головоломкою ». Але розповімо все по порядку.

У 1727 р., в рік смерті Ньютона, в Петербурзькій Академії наук з’явився двадцятирічний Леонард Ейлер.

Швейцарець, випускник університету в Базелі, він пов’язав свою долю з Росією, прожив у Петербурзі свої кращі роки і там, на Смоленському кладовищі, був похований. У Петербурзі розцвів і змужнів геній Ейлера, геній, який збагатив математику і механіку безліччю фундаментальних відкриттів, що носять його ім’я. Серед залишених потомству 850 наукових робіт Ейлера перлиною виблискує вчення про обертання тіла навколо однієї нерухомої точки. Використавши ньютоновскую абсолютну і ввівши в розгляд рухливу (пов’язану з обертовим тілом) системи прямокутних координат і кути неузгодженості між їх осями (кути Ейлера), Ейлер склав загальні математичні рівняння (рівняння Ейлера), що характеризують рух твердого тіла навколо однієї нерухомої точки. Ці рівняння є вихідними для вивчення всіх можливих випадків руху твердого тіла навколо нерухомої точки. Загальні рівняння складні, вирішити їх непросто. Сам Ейлер в 1758 р. знайшов рішення своїх рівнянь лише для окремого випадку, коли центр мас тіла збігається з нерухомою точкою, а момент всіх сил, прикладених до тіла, дорівнює нулю. Виявилося, що тіло, що обертається, яке задовольняє цим умовам, має чудову властивість: одна з його осей, а саме та, за якою направлений вектор моменту кількості руху, зберігає незмінним свій напрямок щодо абсолютного простору. У більшості технічних пристроїв, що використовують бистровращающіеся тіла, напрями векторів моменту кількості руху і кутової швидкості власного обертання тіла відрізняється лише на дуже малі кути.

Проте напрям вектора моменту кількості руху зазвичай не має матеріального втілення, а напрямок вектора кутової швидкості власного обертання тіла має, наприклад, у вигляді валу маховика.
Якщо з метою наочності подальшого викладу знехтувати малими кутами (що зазвичай робиться на практиці), то можна вважати, що саме поздовжня вісь вала маховика зберігає незмінне напрямок в абсолютному просторі. Потрібно пам’ятати, що планета Земля рухається щодо абсолютного простору. Отже, обертове тіло, яке задовольняє умовам Ейлера, зберігаючи незмінне положення осі свого обертання щодо абсолютного простору, відносно поверхні Землі буде мати здається рух.
Через 30 років після Ейлера, в 1788 р., видатний французький вчений- механік Ж. Лагранж (1736-1813) знайшов рішення рівнянь Ейлера ще для одного окремого випадку руху тіла навколо нерухомої точки.

Умови, що накладаються на тіло, що обертається у разі, розглянутому Лагранжем, були менш жорсткими, ніж у випадку Ейлера: тіло передбачалося симетричним щодо осі власного обертання, центр мас тіла лежав на цій осі, але не збігався з нерухомою точкою, рух тіла розглядалася в поле сил рівномірного тяжіння (класичний дзига). У цьому випадку вісь власного обертання тіла вже не зберігала незмінним своє положення в абсолютному просторі, а здійснювала складний рух. Після Ейлера і Лагранжа дослідження проблеми обертання тіла навколо нерухомої точки зважаючи на виняткову складності тривалий час не отримувало подальшого розвитку. Проблема мала не тільки теоретичне, але й важливе практичне значення. Її більш повного рішення чекали астрономи, які вивчали рух величезних волчков – планет, зброярі, давно відмітили, що кулі та снаряди точніше потрапляють у ціль, якщо надати їм, крім поступального, ще і обертальний рух, моряки і техніки, які намагалися використовувати чудові властивості дзиги для визначення курсу і отримання горизонтальних площадок на гойдаються палубах кораблів, а також люди багатьох інших спеціальностей.

Зважаючи на важливість проблеми французька академія наук призначила премії за будь-яке істотне просування у вирішенні цього завдання. Два проведених конкурсу не дали результатів. У 1888 р. конкурс був оголошений втретє. З п’ятнадцяти представлених робіт премію отримала робота російського математика, професора Стокгольмського університету Софії Василівни Ковалевської. Конкурсна комісія, до складу якої входили найбільші вчені, високо оцінила роботу С. В. Ковалевської, давши про неї утішний відгук і збільшивши премію з 3000 до 5000 франків.
Випадок, розглянутий Ковалевської, враховував той широко поширений на практиці факт, що центр мас тіла, що обертається не лежить на осі власного обертання і на тіло діє сила тяжіння.

ПОДІЛИТИСЯ:

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься.

Дивіться також:
Конденсація