Символічний метод розрахунку кіл змінного струму

Символычний метод операцій з векторними величинами грунтується на досить простій ідеї: кожен вектор розкладають на дві складові: одну – горизонтальну, що йде по осі абсцис, а другу – вертикальну, що йде по осі ординат. В цьому випадку всі горизонтальні складові йдуть по одній прямій, і їх можна складати за допомогою простого алгебраїчного додавання, аналогічним чином складають і вертикальні складові.

При такому підході в загальному випадку виходять дві результуючі складові – горизонтальна і вертикальна, які завжди знаходяться один до одного під одним і тим же кутом, рівним 90 °.

За цим складовим можна знайти їх рівнодіючу, т. Е. Зробити їх геометричне складання. Складові під прямим кутом представляють катети прямокутного трикутника, а їх геометрична сума – гіпотенузи.

Можна також сказати, що геометрична сума чисельно дорівнює діагоналі паралелограма, побудованого на складових, як на його сторонах. Якщо горизонтальну складову позначити АГ а вертикальну – АВ, то геометрична сума (1)

Слово “сума” без вказівки, яка саме, призводить до невизначеності, а в ряді випадків і до грубих помилок.

Нагадаємо, що результуючий вектор дорівнює арифметичній сумі векторів в тому випадку, коли всі вектори йдуть по одній прямій (або паралельно один одному) в однаковому напрямку. При цьому всі вектори мають знак плюс (рис. 1, а).

Якщо вектори йдуть по одній прямій, але спрямовані в протилежні сторони, то їх рівнодіюча дорівнює сумі алгебри векторів, в цьому випадку одні члени мають знак плюс, а інші мінус.

Наприклад, в схемі рис. 1, б U6 = U4 – U5. Можна також сказати, що арифметичну суму використовують в тих випадках, коли кут між векторами дорівнює нулю, алгебраїчну, коли кути складають 0 і 180 °. У всіх інших випадках складання виробляють векторно, т. Е. Визначають геометричну суму (рис. 1, в).

Приклад. Визначити параметри еквівалентної синусоїди для ланцюга рис. 2, а символічним методом.

Рішення. Намалюємо вектори Um1 Um2 і розкладемо їх на складові. З креслення видно, що кожна горизонтальна складова представляє значення вектора, помножене на косинус фазного кута, а вертикальна – значення вектора, помножене на синус фазного кута.

Таким чином, результуюча синусоїда має амплітуду 22,4 В, початкову фазу 33,5 ° с таким же періодом, який мали складові. Зауважимо, що складати можна тільки синусоїди з однаковими частотами оскільки при додаванні синусоїдальних кривих з різними частотами, результуюча крива перестає бути синусоїдальної і все поняття, застосовні тільки до гармонійних сигналів, стають в цьому випадку неправомірними.

Простежимо ще раз весь ланцюжок перетворень, які доводиться долати з математичними описами сигналів гармонійної форми при виконанні різних розрахунків.

Спочатку тимчасові функції замінюють векторними зображеннями, потім кожен вектор розкладають на дві взаємно перпендикулярні складові, після чого прораховують окремо горизонтальні і вертикальні складові і, нарешті, визначають значення результуючого вектора і його початкової фази.

Такий шлях розрахунку позбавляє від необхідності графічно складати (а в ряді випадків робити і складніші операції, наприклад, перемножать ділити, витягувати коріння і т. Д.) Синусоїдальні криві і вдаватися до розрахунків за допомогою формул косокутних трикутників.

Однак розраховувати окремо горизонтальні і вертикальні складові операції досить громіздкі. При подібних розрахунках дуже зручним є такий математичний апарат, за допомогою якого можна прорахувати відразу обидві складові.

Вже в кінці минулого століття був розроблений метод, що дозволяє одночасно проводити розрахунки над числами, відкладеними на взаємно перпендикулярних осях. Числа, що відкладаються по горизонтальній осі, назвали речовими, а по вертикальній осі – уявними. При розрахунках цих чисел до речових додають множник ± 1, а до уявних – ± j (читається “жи”). Числа, що складаються з реальною і уявною частин, назвали комплексними, а метод розрахунків, виконуваних з їх допомогою – символічним.

Пояснимо термін “символічний”. Ті функції, які підлягають розрахунку (в даному випадку гармонійні), є оригіналами, а ті висловлювання, якими замінюють оригінали – зображеннями або символами.

При використанні символічного методу всі розрахунки проводять не над самими оригіналами, а над їх символами (зображеннями), які в нашому випадку представляють відповідні комплексні числа, оскільки виробляти операції над зображеннями значно легше, ніж над самими оригіналами.

Після закінчення всіх операцій над зображеннями за результуючою зображенню записують оригінал, відповідний що вийшло зображення. Символічним методом виробляють переважну більшість розрахунків в електричних ланцюгах.

...
ПОДІЛИТИСЯ: