Параметричні коливання. Гойдалки

З дитинства всі добре знайома і багатьма улюблена така старовинна забава як гойдалки. Тренувань на цьому снаряді надає великого значення навіть льотчики і космонавти. Коли малюка, який сидить на гойдалці, розгойдує хтось із старших, що стоїть поруч, то такий механізм розгону і підтримки коливань нами детально вивчений – це вимушені коливання під дією зовнішньої періодичної сили. Але на гойдалках можна розгойдуватися самостійно, сидячи або стоячи на них. Процедура розгойдування в цьому випадку полягає, в тому, що людина, що стоїть на гойдалках, періодично, в потрібні моменти присідає і встає. При цьому періодично змінюються параметри самої коливальної системи (момент інерції, відстань від точки підвісу до центру мас), тому такі незгасаючі коливання називаються параметричними. Найпростішим рівнянням, що описує такі ці коливання, може бути знайоме нам рівняння гармонійних коливань, в якому параметр ω2 є періодичною функцією часу

Залежність параметра від часу може бути, наприклад, представлена ​​у вигляді

ω2 (t) = ω20 (1 + εcosωt) ω2 (t) = ω02 (1 + εcos⁡ωt). (2)
де постійна ω20 – власна частота коливань при незмінних середніх значеннях параметрів системи (наприклад, частота вільних коливань гойдалок при нерухомо стоїть на них людині), а другий доданок описує періодична зміна параметрів системи.

Не дивлячись на зовнішню простоту цього рівняння, його аналіз і вирішення дуже складні [1], тому ми розглянемо параметричні коливання гойдалок з енергетичної точки зору.

Коли людина присідає і встає він здійснює роботу, тому в принципі, може збільшувати амплітуду коливань і компенсувати неминучі втрати механічної енергії на тертя і опір повітря. Підкреслимо, що в розглянутому випадку джерело енергії знаходиться «всередині» самої коливальної енергії, причому цей джерело повинен витрачати енергію «свідомо», включаючись і виключаючи в потрібні моменти часу. Звернемо також увагу, на ту обставину, що розглянута система не є замкнутою – розгойдуватися на незакріплених гойдалках, щонайменше, важко. Нарешті, рух людини щодо гойдалок має бути періодичним, тобто час від часу, він повинен повертатися у вихідне положення (скільки разів присів, стільки разів встав).

Використовуємо ці загальні міркування для опису розгойдування гойдалок. Гранично спростимо ситуацію – будемо вважати людину матеріальною точкою, відстань від якої до осі обертання може змінюватися в деяких невеликих межах «свідомо», тобто в потрібні моменти часу. Для того, щоб максимально збільшити механічну енергію коливань, людина повинна вставати, коли для цього потрібно докласти максимальне зусилля, тому що при цьому буде здійснена максимальна робота. Очевидно, що ця умова досягається, коли гойдалки проходять нижню точку. Якщо людина буде присідати в іншому місці, то втрати механічної енергії при цьому будуть менше, ніж робота, здійснена при вставанні в нижній точці. Таким чином, є можливість підтримувати незгасаючі коливання.

Легко показати, що відповідне збільшення потенційної енергії дорівнює роботі, досконалої при вставанні. У проведеному розрахунку ми знехтували силами тертя в осі обертання гойдалок і опором повітря. Зрозуміло, що в сталому режимі, розглянутий механізм «підкачки» енергії (вчинення роботи при вставанні) заповнює втрати механічної енергії.

Можна підбити деякі підсумки. Ми показали, що періодична зміна параметрів системи може призводити до виникнення та підтриманню незатухаючих параметричних коливань в коливальних системах з тертям і іншими силами опору. При цьому втрати механічної енергії компенсуються роботою сил, що змінюють параметри системи. На прикладі розглянутого руху гойдалок видно, що їх максимальне розгойдування досягається в тому випадку, коли частота зміни параметра в два рази перевищує власну частоту коливань системи – за один період потрібно двічі присідати і двічі вставати.

Це правило є загальним і для інших систем, в яких здійснюються параметричні коливання. Таке зростання амплітуди коливань називається параметричним резонансом. Головна його відмінність від резонансу при вимушених коливаннях полягає в тому, що він настає в тому випадку, коли частота зміни параметрів системи в два рази перевищує власну частоту коливань.

На відміну від вимушених коливань, параметричні не є самовозбуждаемую – необхідно деяке початкове відхилення системи від положення рівноваги, що почався процес параметричних коливань. Подивіться на проведені викладки для опису коливань гойдалок, при відсутності початкового кута відхилення – поява коливань неможливо.

На закінчення даного розділу відзначимо, що параметричні коливань можливі й інших коливальних системах, електричних, оптичних і т.д.

ПОДІЛИТИСЯ: