Напруга при вільних коливаннях системи

Розглянемо тіло, наприклад, горизонтально розташовану балку, що знаходиться в стані статичної рівноваги. Якщо накласти на цю балку навантаження, а потім відразу ж прибрати її, то балка прогнеться до якогось свого крайнього положення, а потім під дією сил пружності прийме своє протилежне крайнє положення, ці коливання будуть тривати протягом якогось часу. Такий вид коливального руху при відсутності навантаження називають власними коливаннями системи (або вільними коливаннями на противагу вимушеним коливанням, що виникають при впливі змінних зовнішніх сил). Частинки коливної системи відчувають на собі вплив наступних сил: власної сили тяжіння, сили пружності, що діють з боку суміжних частинок, сили інерції згідно з принципом Даламбера.
Розглянемо тепер коливання системи з одним ступенем свободи, що складається з балки і закріпленого на ній вантажу масою Р. Інерція тіла визначається співвідношенням
Рi = ​​ma.
Маса тіла в цьому прикладі означає масу вантажу, передбачається, що сама балка має нульову масу. Прискорення являє собою другу похідну від переміщення, в даному випадку
A = d2Δ / dt2
де Δ – прогин під впливом навантаження Р, відраховується від положення рівноваги балки. Позначимо прогин балки від одиничної сили Δ1, тоді прогин Δ = Рi Δ1
Таким чином, можна записати вираз для інерції балки в наступному вигляді:
– (P / g) (d2Δ / dt2) = Δ / Δ1
Прискорення і сила інерції спрямовані протилежно, тому у формулі з’являється знак мінус.
Наведемо отримане співвідношення до вигляду:
(P / g) (d2Δ / dt2) + Δ / Δ1 = 0
Ми отримали диференціальне рівняння вільних коливань системи, спільне рішення його має вигляд:
Δ = С1 cos (wt + C2)
і носить назву рівняння вільних коливань системи, в ньому, С1 і С2 – постійні інтегрування. Це рівняння показує, що значення перегину Δ періодично повторюється з плином часу. Величина w називається циклічною частотою коливань і являє собою число коливань, що здійснюються за проміжок часу 2πt. Часовий інтервал, за який система здійснює одне повне коливання, носить назву періоду вільних коливань

Посилання на основну публікацію