Момент інерції протяжного об’єкта

Момент інерції досить легко обчислити для точкового об’єкта, якщо вважати, що всі крапки об’єкта знаходяться на однаковій відстані від точки обертання. Наприклад, можна вважати Землю точковим об’єктом, який рухається по орбіті навколо Сонця, оскільки розмір планети набагато менше відстані від Землі до Сонця – діаметр Землі – 12756 км; середня відстань від Землі до Сонця – 150 млн. км. (Приблизно 0,008%).

Формула для обчислення моменту інерції точкового об’єкта має вигляд:

I = m · r2
r – відстань, на якому від центру обертання зосереджена вся маса об’єкта m.

У прикладних задачах куди частіше зустрічається ситуація, коли об’єкт, для якого необхідно обчислити момент інерції, не є точковим, наприклад, стрижень, що обертається навколо одного зі своїх кінців. У такого стрижня маса розподілена по всій його довжині. Як бути в такому випадку?
Для визначення моменту інерції протяжних об’єктів проводять підсумовування моментів інерції всіх його матеріальних точок:

I = Σm · r2 = m (r12 + r22 + .. + rn2)
Звичайно ж, в реальному житті інженеру неможливо обчислити все безліч матеріальних точок, з яких складається об’єкт, і обчислити момент інерції для кожної такої точки. Сучасна фізика вже зробила цю роботу, обчисливши моменти інерції для багатьох об’єктів, що мають стандартну форму. Нижче наведено кілька формул для обчислення моментів інерції деяких стандартних об’єктів:

I = m · r2 – обруч радіуса r, який обертається щодо свого центру в площині обруча; порожній циліндр радіуса r, який обертається щодо своєї осі.
I = 1/3 · m · r2 – стрижень довжиною r, який обертається щодо осі, яка розташована на одному кінця стрижня і орієнтований перпендикулярно стрижню.
I = 1/2 · m · r2 – диск радіусом r, який обертається щодо свого центру в площині диска; суцільний циліндр радіусом r, який обертається навколо своєї осі.
I = 2/3 · m · r2 – порожниста сфера радіусом r, яка обертається щодо своєї осі.
I = 2/5 · m · r2 – суцільна сфера радіусом r, яка обертається щодо своєї осі.
На конкретних нескладних прикладах покажемо порядок розрахунку моментів інерції для об’єктів з простою геометрією.

Розкрутка компакт-диска
Ті, хто знайомий з комп’ютерною технікою, повинні знати, що компакт-диски обертаються з різними кутовими швидкостями, забезпечуючи, тим самим, постійну лінійну швидкість запису-зчитування інформації з диска, яка розташована на різних доріжках, які перебувають на різних відстанях від центру диска.

Початкові дані:

Маса компакт-диска – 30 г;
Діаметр диска – 12 см;
У початковий момент часу диск обертається з кутовою швидкістю 100 об / хв;
Через 10 хвилин швидкість диска збільшується до 500 об / хв.
Завдання: обчислити середній момент сил, необхідний для збільшення швидкості компакт-диска.
Формула зв’язку моменту сил і кутового прискорення:

M = I · α
Формула розрахунку моменту інерції диска з радіусом r, який обертається щодо свого центру в площині диска (див. Вище):

I = 1/2 · m · r2
Підставляємо числові значення:

I = 1/2 · (0,03) · (0,06) 2 = 5,4 · 10-5 кг · м2
Визначаємо кутове прискорення:

α = Δω / Δt = (ω1-ω0) / Δt
Δt = 10 хв = 600 с
ω0 – початкова швидкість компакт диска = 100 · 2π = 628 с-1
ω1 – кінцева швидкість компакт диска = 500 · 2π = 3140 с-1
Підставляємо числові значення в формули:

α = (3140-628) / 600 = 4,18 с-2
М = (5,4 · 10-5) · (4,18) = 2,2572 · 10-4 Н · м
Розрахуємо тепер силу, необхідну для створення такого моменту, за умови, що вона буде прикладена до краю компакт-диска:

F = M / r = (2,2572 · 10-4) / (0,06) = 3,762 · 10-3 Н

...
ПОДІЛИТИСЯ: