Графічне зображення синусоїдальних величин

В будь-якму лінійному ланцюзі незалежно від виду елементів, що входять в ланцюг, гармонійне напруга викликає гармонійний струм і, навпаки, гармонійний струм породжує напруги на затискачах цих елементів також гармонійної форми. Звернемо увагу, що індуктивності котушок і ємності конденсаторів передбачаються також величинами лінійними.

У більш загальному випадку можна сказати, що в лінійних ланцюгах при гармонійних впливах все відгуки мають також гармонійну форму. Отже, в будь-лінійної ланцюга все миттєві напруги і струми мають одну і ту ж гармонійну форму. Якщо ланцюг містить хоча б кілька елементів, то синусоїдальних кривих стає досить багато, ці тимчасові діаграми накладаються один на одного, читання їх сильно ускладнюється, вивчення стає гранично незручним.

З наведених причин вивчення процесів, що відбуваються в ланцюгах при гармонійних впливах, виробляють не на кривих синусоїдальної форми, а за допомогою векторів, довжини яких беруться пропорційними максимальним значенням кривих, а кути, під якими відкладаються вектори, рівними кутах між началами двох кривих або початком кривої і початком координат. Таким чином, замість тимчасових діаграм, що займають багато місця, приводять їх зображення у вигляді векторів, т. Е. Прямих ліній зі стрілками на кінцях, причому у векторів напруги стрілки показують заштрихованими, а у векторів струму залишають незаштрихованими.

Сукупність векторів напруг і струмів в ланцюзі називається векторною діаграмою. Правило відліку кутів на векторних діаграмах наступне: якщо необхідно показати вектор, який відстає від початкового положення на деякий кут, то повертають вектор на даний кут за годинниковою стрілкою. Вектор, повернений проти годинникової стрілки, означає випередження на вказаний кут.

Наприклад, на схемі рис. 1 показані три тимчасові діаграми з однаковими амплітудами, але різними початковими фазами. Отже, довжини векторів, які відповідають цим гармонійним напруженням, повинні бути однаковими, а кути – різними. Проведемо взаємно перпендикулярні координатні осі, за початок відліку візьмемо горизонтальну вісь з позитивними значеннями, в цьому випадку вектор першого напруги повинен збігатися з позитивною частиною горизонтальній осі, вектор другого напруги – бути повернутим за годинниковою стрілкою на кут ψ2, а вектор третього напруги – проти годинникової стрілки на кут (рис. 1).

Довжини векторів залежать від обраного масштабу, іноді їх проводять довільної довжини з дотриманням пропорцій. Оскільки максимальні і діючі значення всіх гармонійних величин відрізняються завжди в один і той же число раз (в √2 = 1,41), то на векторних діаграмах можна відкладати як максимальні, так і діючі значення.

Тимчасова діаграма показує значення гармонійної функції в будь-який момент відповідно до рівнянням u = Um sin ωt. На векторній діаграмі також можна показати значення в кожен момент часу. Для цього необхідно представити вектор обертається в напрямку проти годинникової стрілки з кутовою швидкістю ω і брати проекцію цього вектора на вертикальну вісь. Утворені довжини проекцій будуть підкорятися закону u = Um sinωt і, отже, представляти миттєві значення в тому ж масштабі. Напрямок обертання вектора проти годинникової стрілки вважають позитивним, а за годинниковою стрілкою – від’ємним.

Розглянемо приклад визначення миттєвих значень напруг за допомогою векторної діаграми. У правій частині рис. 2 показана діаграма тимчасова, а в лівій частині – векторна. Нехай початковий фазний кут дорівнює нулю. У цьому випадку в момент t = 0 миттєве значення напруги дорівнює нулю, а вектор, що відповідає цій тимчасовій діаграмі, збігається з позитивним напрямком осі абсцис, проекція цього вектора на вертикальну вісь в цей момент також дорівнює нулю, т. Е. Довжина проекції збігається з миттєвим значенням синусоїди.

Через час t = Т / 8 фазний кут стає рівним 45 °, а миттєве значення Um sin ωt = Um sin 45 ° = = 0,707 Um. Але радіус-вектор за цей час повернеться також на кут 45 ° і проекція цього вектора стане також 0,707 Um. Через t = Т / 4 миттєве значення кривої досягне U, але і радіус-вектор повертається також на 90 °. Проекція на вертикальну вісь в цей момент стане рівною самому вектору, довжина якого пропорційна максимальному значенню. Аналогічним чином можна визначити миттєві значення в будь-який момент.

Таким чином, всі операції, які тим чи іншим чином доводиться виробляти з синусоїдальними кривими, зводяться до операцій, що виконуються не з самими синусоїдами, а з їх зображеннями, т. Е. З відповідними їм векторами. Наприклад, є ланцюг рис. 3, а, в якій необхідно визначити еквівалентну криву миттєвих значень напруги. Щоб побудувати сумарну криву графічним способом, необхідно провести дуже громіздку операцію графічного складання двох кривих, які виконуються по точкам.

Замінимо тепер тимчасові синусоїди їх зображеннями, т. Е. Векторами. Виберемо масштаб і відкладемо вектор Um1, відстаючим від початку координат на 30, і вектор Um2, що має довжину в 2 рази більшу, ніж вектор Um1, випереджаюче початок координат на 60 ° (рис. 3, в). Креслення після подібної заміни різко спрощується, але все розрахункові формули залишаються колишніми, оскільки векторне зображення синусоїдальних величин не змінює суті справи: спрощується тільки креслення, але не математичні співвідношення в ньому (інакше заміна тимчасових діаграм векторними була б просто неправомірною.)

Таким чином, заміна гармонійних величин їх векторними зображеннями ще не полегшує техніку розрахунків, якщо проводити ці розрахунки доводиться по законам косокутних трикутників. Щоб різко спростити технологію розрахунків векторних величин, був розроблений символічний метод розрахунку.

...
ПОДІЛИТИСЯ: