Застосування основних тригонометричних формул

Основні тригонометричні формули:

1. (Sin (a)) 2 + (cos (a)) 2=1;

2. tg (a)=sin (a) / cos (a);

3. ctg (a)=cos (a) / sin (a);

4. tg (a)*ctg (a)=1;

5. 1 + (tg (a)) 2=1 / (cos (a)) 2;

6. 1 + (ctg (a)) 2=1 / (sin (s)) 2.

Застосування основних тригонометричних формул:
Приклад 1. Спростити вираз ((ctg (a)) 2)*(((cos (a)) 2-1).

Рішення:

Спочатку скористаємося основним тригонометричним тотожністю (sin (a)) 2 + (cos (a)) 2=1. Вихідне рівняння перетвориться до виду: ((ctg (a)) 2)*(-(sin (a)) 2).

Тепер скористаємося визначенням котангенса: ctg (a)=cos (a) / sin (a). Отже, (ctg (a)) 2=(cos (a)) 2 / (sin (a)) 2. Наше вихідне вираз перетвориться. Отримаємо:

((Ctg (a)) 2)*(((cos (a)) 2-1)=((ctg (a)) 2)*(-(sin (a)) 2)=((cos (a)) 2 / (sin (a)) 2)*(-(sin (a)) 2)=-(cos (a)) 2.

Відповідь: ((ctg (a)) 2)*(((cos (a)) 2-1)=-(cos (a)) 2.

Приклад 2. Спростити вираз sin (a) / 1 + cos (a) + (1 + cos (a)) / sin (a).

Рішення:

Наведемо дані дроби до спільного знаменника (sin (a))*(1 + cos (a)) і виконаємо додавання. Маємо:

sin (a) / (1 + cos (a)) + (1 + cos (a)) / sin (a)=((sin (a)) 2 + (1 + cos (a)) 2) / ((sin (a))*(1 + cos (a))).

Розкриємо дужки в чисельнику отриманої дробу:

((Sin (a)) 2 + (1 + cos (a)) 2) / ((sin (a))*(1 + cos (a)))=((sin (a)) 2 + 1 + 2*cos (a) + (cos (a)) 2) / ((sin (a))*(1 + cos (a))).

У чисельнику отримали основне тригонометричне тотожність, (sin (a)) 2 + (cos (a)) 2, його можна замінити на одиницю.

((Sin (a)) 2 + 1 + 2*cos (a) + (cos (a)) 2) / ((sin (a))*(1 + cos (a)))=(2 + 2*cos (a)) / ((sin (a))*(1 + cos (a))).

Виносимо в чисельнику загальний множник 2 за дужку:

(2 + 2*cos (a)) / ((sin (a))*(1 + cos (a)))=2*(1 + cos (a)) / ((sin (a))*(1 + cos (a))).

Чисельник і знаменник можна скоротити на дужку (1 + cos (a)).

2*(1 + cos (a)) / ((sin (a))*(1 + cos (a)))=2/sin (a).

Відповідь: sin (a) / (1 + cos (a)) + (1 + cos (a)) / sin (a)=2 / sin (a).

Приклад 3. Довести тотожність (tg (a)) 2-(sin (a)) 2=(tg (a)) 2*(sin (a)) 2.

Рішення:

Перетворимо ліву частину рівності:

(Tg (a)) 2-(sin (a)) 2=(sin (a)) 2 / (cos (a)) 2-(sin (a)) 2=(sin (a)) 2*[1 / (cos (a)) 2-1]=(sin (a)) 2*(1 + (tg (a)) 2-1)=(tg (a)) 2*(sin (a)) 2.

Вийшло що права частина дорівнює лівій, отже, тотожність доведено.

Посилання на основну публікацію