✅Застосування інтеграла

Поняття інтеграла широко застосовується в житті. Інтеграли застосовуються в різних галузях науки і техніки. Основними завданнями, обчислюваними за допомогою інтегралів є задачі на:

  • Знаходження об’єму тіла;
  • Знаходження центру мас тіла.

Розглянемо кожну з них більш докладно. Тут і далі, для позначення певного інтеграла від деякої функції f (x) ,з межами інтегрування від a до b, будемо використовувати наступний запис ∫aabf (x).

Знаходження об’єму тіла

Розглянемо наступний малюнок. Припустимо, є деяке тіло, обсяг якого дорівнює V. Так само є пряма така, що якщо ми візьмемо деяку площину, перпендикулярну цієї прямої, то буде відома площа перетину S даного тіла цією площиною.

Кожна така площина буде перпендикуляра осі Ох, а отже буде перетинати її в деякій точці х. Тобто кожній точці х, з відрізка [ a ; b ] буде поставлено у відповідність число S (x) – площа перерізу тіла площину проходить через цю точку.

Виходить, на відрізку [a;b] буде задана деяка функція S (x). Якщо ця функція буде неперервна на цьому відрізку, то буде справедлива наступна формула:

V = ∫aabS (x) dx.

Доказ цього твердження виходить за рамки програми шкільного курсу.

Обчислення центру мас тіла

Центр мас найчастіше використовується у фізиці. Наприклад, є деяке тіло яке рухається з якою-небудь швидкістю. Але велике тіло розглядати незручно, і тому у фізиці розглядається це тіло, як рух точки, в припущенні, що ця точка має таку ж масу, як і все тіло.

А завдання обчислення цетру мас тіла, є основною в цьому питанні. Тому як тіло-то велике, і яку саме точку треба взяти за центр мас? Може бути ту, яка знаходиться в середині тіла? Або може найближчу точку до переднього краю? Тут приходить на допомогу інтегрування.

Для знаходження центру мас використовується наступні два правила:

  • Координата x’ центру мас деякої системи матеріальних точок A1, A2, A3,…An з масами m1, m2, m3,…mn відповідно розташованих на прямій в точках з координатами x1, x2, x3,…xn знаходиться подальшою формулою:

x ‘=(m1*x1 + ma*x2 +…+ mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +…+ mn)

  • При обчисленні координати центру мас можна будь-яку частину розглянутої фігури замінити на матеріальну точку, при цьому помістивши її в центр мас цієї окремої частини фігури, а масу взяти рівну масі цієї частини фігури.

Наприклад, якщо вздовж стрижня-відрізка [a;b] осі Ох розподілена маса щільністю p (x), де p (x) є безперервна функція, то координата центру мас x’ дорівнюватиме :

(1 / M)*∫a abx*p (x) dx.

Посилання на основну публікацію