Сформулюйте і доведіть основний закон арифметики натуральних чисел

Основний закон арифметики натуральних чисел складається з двох частин і формулюється приблизно так:

Частина 1. Будь натуральне число, крім 1, можна представити у вигляді добутку простих чисел.
Частина 2. Причому дане число завжди буде розкладатися на один і той же набір простих чисел; може розрізнятися лише їх порядок.

Просте число
це натуральне число, яке має тільки два дільника – само себе і 1.
Складене число
це будь-яке натуральне число, що має більше, ніж два подільника.
Число 1 не є ні простим, ні складеним.

У формулюванні першої частини основного закону арифметики натуральних чисел говориться, що закон стосується всіх натуральних чисел (за винятком 1). Це означає, що він відноситься і до простих чисел. Навіть якщо число просте, воно все-одно представимо у вигляді одного простого числа (самого себе). З іншого боку, тут відсутній твір. Можна було б сказати «у вигляді твору 1 і самого себе», але одиниця не є простим числом, що теж порушує визначення.

Доведемо першу частину закону по відношенню до складових числам. Доказ проведемо «від зворотного»: припустимо, що існують складені числа, які не можна розкласти на твір простих чисел, т. Е. В ряді множників є інші складені числа.

Будь-яке складене число має хоча б два подільника, відмінних від себе самого і одиниці. Дійсно, позначимо складене число з ряду множників першого числа як n, його подільник, відмінний від 1 і самого n, як m, а вийшло приватна як q. Тоді n = mq. Т. е. M і q подільники числа n. Причому ні m, ні q не рівні самому числу n і 1. Але раз це подільники, то вони менше числа n.

Нехай число m було найменшим складеним числом, що входять до лав розкладання інших складових чисел. Це число може бути розкладено тільки на прості, т. К. Складеного числа менше його просто немає. Звідси випливає, що складене число завжди розкладається на ряд простих чисел.

Тепер доведемо другу частину основного закону арифметики натуральних чисел: різні розкладання складеного числа на прості множники можуть відрізнятися лише порядком множників, але не їх кількістю і складом.

Припустимо, що існує число a, яке можна представити у вигляді різного набору простих множників: a = p1 × p2 × … × pm і a = q1 × q2 × … × qn. Оскільки a ділиться на p1, то в другому наборі множників має бути точно таке ж число (нехай це буде q2). Отримуємо a ÷ p1 = p2 × … × pm і a ÷ q2 = q1 × … × qn. Подібним чином скоротимо всі однакові множники.

Якщо число a можна було б представити у вигляді різного набору простих множників, то в результаті такого скорочення вийшло б число b (з числа a) в одному випадку представлене з решти множників p, а в другому – з решти q. Оскільки ми скоротили все, що можна, то що залишилися множники з різних наборів не рівні один одному. Причому це прості числа. Але перемножування одних простих чисел не може дати такого ж результату, як при перемножуванні інших простих чисел. Це випливає з особливостей простих і взаємно простих чисел. [Не очевидно]

ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Приріст функції