Похідна та показова функція

Графік показовою функції являє собою криву плавну лінію без зламів,до якої в кожній точці,через яку вона проходить,можна провести дотичну.Логічно припустити,що якщо можна провести дотичну,значить функція буде диференційована в кожній точці своєї області визначення.

Відобразимо в одних координатних осях кілька графіків функції y=xa,Для а=2; a=2,3; a=3; a=3,4.

У точці з координатами (0; 1).Кути нахилу цих дотичних будуть рівні приблизно 35,40,48 і 51 градусів відповідно.Логічно припустити,що на інтервалі від 2 до 3 існує число,при якому кут нахилу дотичної буде дорівнює 45 градусів.

Дамо точне формулювання цього твердження: існує таке число більше 2 і меншу 3,позначається буквою е,що показова функція y=ex в точці 0,має похідну рівну 1.Тобто: (e?x-1) / ?x прагне 1 при прагненні ?х до нуля.

Дане число e є ірраціональним і записується у вигляді нескінченної неперіодичної десятковим дробом:

e=+2,7182818284…

Так як число е позитивно і відмінно від нуля,то існує логарифм по підставі e.Даний логарифм називається натуральним логарифмом.Позначається ln (x)=loge (x).

Похідна показовою функції
Теорема: Функція ex диференційована в кожній точці своєї області визначення,і (ex) ‘=ex.

Показова функція ax диференційована в кожній точці своєї області визначення,і причому (ax) ‘=(ax)*ln (a).
Наслідком з цієї теореми є той факт,що показова функція неперервна в будь-якій точці своєї області визначення.

Приклад: знайти похідну функції y=2x.

За формулою похідної показовою функції отримуємо:

(2x) ‘=(2x)*ln (2).

Відповідь: (2x)*ln (2).

Первообразная показовою функції
Для показовою функції ax заданої на множині дійсних чисел первообразной буде функція (ax) / (ln (a)).
ln (a)-деяка постійна,тоді (ax / ln (a)) ‘=(1 / ln (a))*(ax)*ln (a)=ax для будь-якого х.Ми довели цю теорему.

Розглянемо приклад на знаходження первообразной показовою функції.

Приклад: знайти первісну до функції f (x)=5x.Скористаємося формулою наведеною вище і правилами знаходження первісних.Отримаємо: F (x)=(5x) / (ln (5)) + C.

Відповідь: (5x) / (ln (5)) + C.

Посилання на основну публікацію