Логарифми та їх властивості

Розглянемо рівняння ax=b,при a > 0 і a не дорівнює одиниці.Це рівняння не має рішень при b меншому або рівним нулю.І має єдине рішення при b > 0.Дане рішення називають логарифмом b по підставі ab і позначають таким чином:

loga (b)

Логарифмом числа b по підставі f називається показник ступеня,в яку необхідно звести число а,щоб вийшло число b.

a (loga (b))=b.

Дана формула називається основним логарифмічним тотожністю.Вона вірна для будь-якого позитивного не дорівнює одиниці a,і будь-якого позитивного b.

Приклади логарифмів

Розглянемо кілька прикладів:

  • 1.Знайти значення log2 (32).32 можна представити як 25.Тобто для того,щоб нам отримати число 32,необхідно двійку звести в п’яту ступінь.Отже,log2 (32)=5.
  • 2.Знайти логарифм числа 1 /9 по підставі?3.Так як (?3) 4=1/9,отримуємо,що log?3 (1 /9)=-4.
  • 3.Знайти х таке,що буде вірно нерівність: log8 (x)=1 /3.Застосуємо основне логарифмічна тотожність:

x=8 (log8 (x))=8 (1/8)=2.

властивості логарифмів
У логарифмів є кілька властивостей,які прямо випливають з властивостей показовою функції.Основні властивості логарифмів:

  • 1.loga (1)=0;
  • 2.loga (a)=1;
  • 3.loga (x*y)=loga (x) + loga (x)-логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів;
  • 4.logx (x / y)=loga (x)-loga (y)-логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів;
  • 5.loga (xp)=p*loga (x)-логарифм мірою буде дорівнює добутку показника ступеня на логарифм підстави цього ступеня.

Наведені вище властивості будуть справедливі для будь-якого позитивного числа а,що не рівного одиниці,будь-яких позитивні x і y,і будь-якого дійсного p.

Для логарифмів існує формула переходу до нового основою:

loga (x)=(logb (x)) / (logb (a)).

Дана формула буде мати сенс лише в тому випадку,коли обидві її частини будуть мати сенс.Тобто повинні виконуватися наступні умови:

x > 0,a > 0,b > 0,a не дорівнює одиниці,b не дорівнює одиниці.

Логарифми підставою яких є число 10,називаються десятковими логарифмами.Логарифми,підставою яких є число e,називаються натуральними логарифмами.

ПОДІЛИТИСЯ: